Xét tứ giác $MNPQ$, ta có: $MQ$ // $NP$ và $MN$ // $PQ$ suy ra $MNPQ$ là hình bình hành.

Kéo dài $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$.

Ta có: $\hat{C}+\hat{D}=90^{\circ }$ suy ra $\hat{E}=90^{\circ }$.

Lại có:$MN$ // $ED$ và $MQ$ // $EC$ suy ra $MN\perp MQ$

Do đó $MNPQ$ là hình chữ nhật suy ra $M,N,P,Q$ nằm trên một đường tròn với tâm là

Ta có: $\Delta ABC$ đều

            $N,P$ là trung điểm $AC,AB$

$\to BN\perp AC,CP\perp AB$

$\to \Delta BNC,\Delta BPC$ vuông tại $N,P$

Mà $M$ là trung điểm $BC$

$\to MP=MB=MC=\frac{1}{2}BC,MN=MB=MC=\frac{1}{2}BC$

$\to MP=MN=MB=MC=\frac{1}{2}BC$

$\to B,P,N,C\in$ đường tròn tâm $M$bán kính $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$

a) Ta có d là là đường thẳng đi qua tâm O nên d là trục đối xứng của đường tròn.

Vì A thuộc (O) và B là điểm đối xứng của A qua d nên B cũng thuộc (O).

Vì C, D lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O nên C, D cũng thuộc (O).

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD (hai đường chéo bằng nhau), AE = BE = CE = DE (nửa đường chéo). 

Do đó A, B, C, D nằm trên đường tròn tâm E. 

Hai đường chéo đi qua E nên AC, BD là hai trục đối xứng của đường tròn (E).

b) Do ABC là tam giác vuông tại B, có AB = BC = 3 cm nên theo định lí Pythagore, ta được $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=3^2+3^2=18.$

Suy ra $AC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ (cm). 

Vậy bán kính của đường tròn (E) là $R=\frac{AC}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ (cm).

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $BD$ là đường cao nên $BD\perp AC$, hay tam giác $BCD$ vuông tại $D$.

Trong tam giác vuông $BCD$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$OD=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(1)$

Tương tự ta có: $OE=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$$(2)$

Và $OF=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(3)$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $OB=OC=OD=OD=OE=OF$.

Do đó năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $BD$ là đường cao nên $BD\perp AC$, hay tam giác $BCD$ vuông tại $D$.

Trong tam giác vuông $BCD$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$OD=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(1)$

Tương tự ta có: $OE=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$$(2)$

Và $OF=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(3)$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $OB=OC=OD=OD=OE=OF$.

Do đó năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $BD$ là đường cao nên $BD\perp AC$, hay tam giác $BCD$ vuông tại $D$.

Trong tam giác vuông $BCD$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$OD=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(1)$

Tương tự ta có: $OE=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$$(2)$

Và $OF=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(3)$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $OB=OC=OD=OD=OE=OF$.

Do đó năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $BD$ là đường cao nên $BD\perp AC$, hay tam giác $BCD$ vuông tại $D$.

Trong tam giác vuông $BCD$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$OD=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(1)$

Tương tự ta có: $OE=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$$(2)$

Và $OF=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(3)$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $OB=OC=OD=OD=OE=OF$.

Do đó năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $BD$ là đường cao nên $BD\perp AC$, hay tam giác $BCD$ vuông tại $D$.

Trong tam giác vuông $BCD$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$OD=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(1)$

Tương tự ta có: $OE=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$$(2)$

Và $OF=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(3)$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $OB=OC=OD=OD=OE=OF$.

Do đó năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $BD$ là đường cao nên $BD\perp AC$, hay tam giác $BCD$ vuông tại $D$.

Trong tam giác vuông $BCD$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$OD=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(1)$

Tương tự ta có: $OE=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$$(2)$

Và $OF=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(3)$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $OB=OC=OD=OD=OE=OF$.

Do đó năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với

Gói O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên hay tam giác BDC vuông tại D

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

Tường tự ta có :

và

Từ 1 2 3 ta có :

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc đường tròn (O;R) với