Gọi $D$ là giao điểm của $AG$ và $BC\Rightarrow DB=DC$.

Ta có $BG=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}BE$; $CG=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}CF$ (tính chất trọng tâm).

Vì $BE=CF$ nên $BG=CG\Rightarrow △BCG$ cân tại $G$

$\Rightarrow \widehat{GCB}=\widehat{GBC}$

Xét $△BFC$ và $△CEB$ có $CF=BE$ (giả thiết);

$\widehat{GCB}=\widehat{GBC}$ (chứng minh trên);

$BC$ là cạnh chung.

Do đó $△BFC=△CEB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (hai góc tưong ứng)

$\Rightarrow △ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

Từ đó suy ra $△ABD=△ACD$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADC}$. (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^{\circ }\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90^{\circ }\Rightarrow AD\perp BC$ hay $AG\perp BC$.

a) Ta có $DM=DG\Rightarrow GM=2GD$.

Ta lại có $G$ là giao điểm của $BD$ và $CE\Rightarrow G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

$\Rightarrow BG=2GD$.

Suy ra $BG=GM$.

Chứng minh tương tự ta được $CG=GN$.

b) Xét tam giác $GMN$ và tam giác $GBC$ có $GM=GB$ (chứng minh trên);

$\widehat{MGN}=\widehat{BGC}$ (hai góc đối đỉnh);

$GN=GC$ (chứng minh trên).

Do đó $△GMN=△GBC$ (c.g.c)

$\Rightarrow MN=BC$ (hai cạnh tương ứng).

Theo chứng minh trên $△GMN=△GBC\Rightarrow \widehat{NMG}=\widehat{CBG}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{NMG}$ và $\widehat{CBG}$ ờ vị trí so le trong nên $MN$ // $BC$.

a) Ta có $BF=2BE\Rightarrow BE=EF$.

Mà $BE=2ED$ nên $EF=2ED\Rightarrow D$ là trung điểm của $EF\Rightarrow CD$ là đường trung tuyến của tam giác $EFC$.

Vì $K$ là trung điểm của $CF$ nên $EK$ là đường trung tuyến của $△EFC$.

$△EFC$ có hai đường trung tuyến $CD$ và $EK$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $△EFC$.

b) Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $EFC$ nên $\genfrac{}{}{0ex}{}{GC}{DC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$ và $GE=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}EK$

$\Rightarrow GK=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}EK\Rightarrow GE=2GK\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{GE}{GK}=2$.

a) Xét tam giác $ABD$ có $C$ là trung điểm của cạnh $AD\Rightarrow BC$ là trung tuyến của tam giác $ABD$.

Hơn nữa $G\in BC$ và $GB=2GC\Rightarrow GB=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}BC\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác $ABD$.

Lại có $AE$ là đường trung tuyến của tam giác $ABD$ nên $A,G,E$ thẳng hàng.

b) Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ABD\Rightarrow DG$ là đường trung tuyến của tam giác này.

Suy ra $DG$ đi qua trung điểm của cạnh $AB$ (điều phài chứng minh).

a) Ta có $△ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$ mà $AB=2BE$; $AC=2CD$ (vì $E,D$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$, $AC)$.

Do đó ta có $2BE=2CD$ hay $BE=CD$.

Xét $△BCE$ và $△CBD$ có $BE=CD$ (chứng minh trên);

$\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$;

$BC$ là cạnh chung.

Do đó $△BCE=△CBD$ (c.g.c)

$\Rightarrow CE=BD$ (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $BG=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}BD$ và $CG=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}CE$ (tính chất trọng tâm).

Mà $CE=BD$ (phần a) nên $\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}CE=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}BD$ hay $CG=BG$.

Vậy tam giác $GBC$ cân tại $G$.

c) Ta có $GB=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}BD\Rightarrow GD=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}BD\Rightarrow GB=2GD\Rightarrow GD=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}GB$

Chứng minh tương tự, ta có $GE=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}GC$.

Do đó $GD+GE=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}GB+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}GC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}(GB+GC)$.

Mà $GB+GC>BC$ (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại).

Do đó $GD+GE>\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ (điều phải chứng minh).

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$\Rightarrow BG=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}BM$; $CG=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}CN$

$\Rightarrow BM=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}BG$; $CN=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}CG$.

Do đó ta phải chứng minh $\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}BG+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}CG>\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}BC$ hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy $BM+CN>\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}BC$. (điều phải chứng minh).

thuộc kiểu câu nào?

4

3

sự dũng cảm vượt qua khó khăn.và nghị lực fi thường