Gọi 

$R$

 là bán kính đường tròn 

$(O)$

.
Theo đề bài, 

AI=23AO=23RAI=32​AO=32​R

. Suy ra 

OI=AO−AI=R−23R=13ROI=AO−AI=R−32​R=31​R

.
Trong tam giác vuông 

$OCI$

, ta có 

OC2+OI2=CI2OC2+OI2=CI2

.

CI2=OC2+OI2=R2+(13R)2=R2+19R2=109R2CI2=OC2+OI2=R2+(31​R)2=R2+91​R2=910​R2

CI=109R2=R103CI=910​R2​=3R10​​

.

Ta có $\triangle AO C =90^0; AE=EC \Rightarrow \triangle AEC $ là 

$△ABC$

$△OCE$

$O\Rightarrow =\angle DEC$

Theo tính chất hai dây cắt nhau tại 1 điểm ta có $AI.IB=CI.IE $.

$\triangle AO C \sim \triangle CEI $
Ta có tam giác 

$AOC$

 và 

$IEC$

 đồng dạng, nên $\frac{OC}{IE} = \frac{OA}{CE} $
Do đó $\frac{AO}{EC} = \frac{OC}{EI}= $

Áp dụng định lý hàm cosin cho tam giác 

$OCE$

:

CE2=OC2+OE2−2OC⋅OE⋅cos⁡(∠COE)CE2=OC2+OE2−2OC⋅OE⋅cos(∠COE)

CE2=R2+R2−2R2cos⁡(∠COE)=2R2(1−cos⁡(∠COE))CE2=R2+R2−2R2cos(∠COE)=2R2(1−cos(∠COE))

cos⁡(∠COE)=OC2+OE2−CE22OC⋅OEcos(∠COE)=2OC⋅OEOC2+OE2−CE2​

$OC\perp OA$

$\triangle OAI $ là vuông và $ 

CIE

laˋgoˊcngoaˋilaˋgoˊcngoaˋi

\angle CEI =90^{0} \rangle \angle AOI

OE2=R2OE2=R2

a) Chứng minh 

BD=BC+AB−AC2BD=2BC+AB−AC​

Gọi 

$E,F$

 lần lượt là các tiếp điểm của 

$(I)$

 với 

$AB,AC$

. Vì 

$ABC$

 vuông tại 

$A$

, ta có 

$AEIF$

 là hình vuông cạnh 

$r$

 (bán kính đường tròn nội tiếp).

• $AE=AF=r$

   

• $BE=AB-AE=AB-r$

   

• $CF=AC-AF=AC-r$

   

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

• $BD=BE=AB-r$

   

• $CD=CF=AC-r$

   

Do đó, 

$BC=BD+CD=(AB-r)+(AC-r)=AB+AC-2r$

.

Ta cũng có công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông: 

r=AB+AC−BC2r=2AB+AC−BC​

. Suy ra 

$2r=AB+AC-BC$

.

Thay 

$2r=AB+AC-BC$

 vào 

$BC=AB+AC-2r$

, ta được:

$BC=AB+AC-(AB+AC-BC)=AB+AC-AB-AC+BC$

, (luôn đúng).

Từ 

$BD=AB-r$

, ta thay 

r=AB+AC−BC2r=2AB+AC−BC​

 vào:

BD=AB−AB+AC−BC2=2AB−AB−AC+BC2=AB−AC+BC2=BC+AB−AC2BD=AB−2AB+AC−BC​=22AB−AB−AC+BC​=2AB−AC+BC​=2BC+AB−AC​

 (đpcm).

b) Chứng minh 

SABC=BD⋅DCSABC​=BD⋅DC

Ta có 

SABC=12AB⋅ACSABC​=21​AB⋅AC

.

Ta có 

$BD=AB-r$

 và 

$CD=AC-r$

. Suy ra 

BD⋅CD=(AB−r)(AC−r)=AB⋅AC−r(AB+AC)+r2BD⋅CD=(AB−r)(AC−r)=AB⋅AC−r(AB+AC)+r2

.

Ta cần chứng minh 

12AB⋅AC=(AB−r)(AC−r)=AB⋅AC−r(AB+AC)+r221​AB⋅AC=(AB−r)(AC−r)=AB⋅AC−r(AB+AC)+r2

.

Suy ra 

12AB⋅AC=AB⋅AC−r(AB+AC)+r221​AB⋅AC=AB⋅AC−r(AB+AC)+r2

.

12AB⋅AC=r(AB+AC)−r221​AB⋅AC=r(AB+AC)−r2

AB⋅AC=2r(AB+AC)−2r2AB⋅AC=2r(AB+AC)−2r2

AB⋅AC=(AB+AC−BC)(AB+AC)−(AB+AC−BC)22AB⋅AC=(AB+AC−BC)(AB+AC)−2(AB+AC−BC)2​

Ta có 

r=AB+AC−BC2r=2AB+AC−BC​

 nên 

$2r=AB+AC-BC$

. Suy ra 

$BC=AB+AC-2r$

Ta có 

BD.CD=(AB−r)(AC−r)=AB.AC−r(AB+AC)+r2BD.CD=(AB−r)(AC−r)=AB.AC−r(AB+AC)+r2

.
Do đó, ta cần chứng minh $AB.AC = 2(AB.AC -r(AB+AC) + r^2) $

⇔2AB.AC−2r(AB+AC)+2r2=AB.AC⇔AB.AC−2r(AB+AC)+2r2=0⇔2AB.AC−2r(AB+AC)+2r2=AB.AC⇔AB.AC−2r(AB+AC)+2r2=0

⇔AB.AC−2AB+AC−BC2(AB+AC)+2(AB+AC−BC2)2=0⇔AB.AC−22AB+AC−BC​(AB+AC)+2(2AB+AC−BC​)2=0

⇔AB.AC−(AB2+AC2+2AB.AC−BC2)+(AB+AC−BC)22=0⇔AB.AC−(AB2+AC2+2AB.AC−BC2)+2(AB+AC−BC)2​=0

BC2=AB2+AC2⇒AB2+AC2+2AB.AC−BC2=2AB.ACBC2=AB2+AC2⇒AB2+AC2+2AB.AC−BC2=2AB.AC

.
$ AB.AC - 2AB.AC + \frac{(AB+AC-BC)^2}{2} = 0 \Rightarrow -AB.AC+\frac{(AB+AC-BC)^2}{2}=0 $
$-2AB.AC + AB^2 + AC^2+BC^2+2AB.AC-2BC(AB+AC)=0\Leftrightarrow AB^2+AC^2+BC^2-2BC(AB+AC)=0 $

BC2+BC2−2BC(AB+AC)=0⇔2BC(BC−AB−AC)=0BC2+BC2−2BC(AB+AC)=0⇔2BC(BC−AB−AC)=0

Ta có 

AB.AC2=SABC2AB.AC​=SABC​

S=pr=12(AB+AC+BC)AB+AC−BC2=(AB+AC+BC)(AB+AC−BC)4=(AB+AC)2−BC24=(AB+AC)2−(AB2+AC2)4=AB2+AC2+2AB.AC−AB2−AC24=2AB.AC4=AB.AC2=SABCS=pr=21​(AB+AC+BC)2AB+AC−BC​=4(AB+AC+BC)(AB+AC−BC)​=4(AB+AC)2−BC2​=4(AB+AC)2−(AB2+AC2)​=4AB2+AC2+2AB.AC−AB2−AC2​=42AB.AC​=2AB.AC​=SABC​

Mà 

$pr=BD.DC$

Vậy 

SABC=BD.DCSABC​=BD.DC

1

2