Xét 2 tam giác ADF và ABE ta có:

AD = AB (gt)

Góc ADF = Góc ABE (gt)

DF = BE (gt)

=> 2 tam giác trên bằng nhau (c.g.c)

Suy ra Góc DAF = góc BAE (tương ứng)

Ta lại xét 2 tam giác ADH và ABG ta có:

Góc DAH = góc BAG

AD = AB (gt)

Góc ADH = góc ABG (gt)

=> 2 tam giác trên bằng nhau (g.c.g)

Suy ra DH = BG

Ta có OD = OB ; DH = BG nên OH = OG

Và AC vuông góc với HG và HO = GO nên AGCH là hình thoi

Vì AC vuông góc Ax và By song song với AC nên By vuông góc với Ax

=> BM // AQ

Xét 2 tam giác BPM và APQ ta có:

Góc PBM = góc PAQ (so le trong)

BP = AP

Góc BPM = góc APQ (đối đỉnh)

Vậy 2 tam giác bằng nhau (g.c.g)

=> BM = AQ (cạnh tương ứng)

Nên AMBQ là hình bình hành ,có một góc vuông là góc A nên AMBQ là hình chữ nhật

b) Xét tam giác vuông AIB có trung tuyến IP = 1/2 AB . PA = PM = PQ = PB

Vậy PI = PQ

=> Tam giác PIQ cân tại P

Xét 2 tam giác ABM và CDM ta có:

Góc MCD = MAB (so le trong)

Góc MDC = MBA ( so le trong)

AM = MC (gt)

=> 2 tam giác bằng nhau (g.c.g)

=> BM = MD

=> MA = MB = MC = MD

ABCD là hình bình hành (có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Có 1 góc vuông là góc A

Nên ABCD là hình chữ nhật

Xét tứ giác AHCD có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường => tứ giác AHCD là hình bình hành.

Hình bình hành AHCD có góc H vuông nên AHCD là hình chữ nhật

a) Xét 2 tam giác vuông AHD và BCK ta có:

AD = BC (gt)

Góc ADH = Góc CBK (so le trong)

=> 2 tam giác trên bằng nhau

=> AH = CK ( cạnh tương ứng)

Vì 2 đường thẳng vuông góc tại một đường thẳng nên 2 đường thẳng đó song song với nhau

=> AH // CK

=> AHCK là hình bình hành

b) Từ câu a ở trên ta có DH = BK (cạnh tương ứng)

Vì I là trung điểm của HK nên DH + HI = BK + KI = ID = IB

=> IB = ID

a) Xét hình bình hành ABCD ta có:

AD = BC và AD // BC mà E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC nên AE = ED = BF = CF

Lại có ED // BF (AD // BC)

=> EBFD là hình bình hành

b) Vì O giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF

=> 3 điểm E,O,F thẳng hàng

Vì BM và CN là hai đường trung tuyến và cắt nhau tại G nên ta có G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có GN = 1/3 CN và GC = 2/3 CN (tính chất đường trung tuyến)

Tương tự GM = 1/3 BM và GB = 2/3 BM

=> GN = 1/2 GC mà GC có trung điểm là Q nên GQ = CQ = 1/2 GC

=> GQ = CQ = GN

GM = 1/2 GB mà GB có trung điểm là P nên GP = BP = 1/2 GB

=> GP = BP = GM

=> PQMN là hình bình hành vì GN = GQ ; GM = GP

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD mà B và C lần lượt là trung điểm của AE và DF nên ta có:

AE = DF; AB = BE = CD = CF

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD)

Do đó AEFD là hình bình hành

Tương tự ABFC có AB = CF và AB // CF (vì AB // CD)

=> ABFC là hình bình hành

b) Trong hình bình hành AEFD có 2 đường chéo là AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thẳng tại O

Trong khi đó O cũng là giao điểm của 2 đường chéo AF và BC

Mà O cũng là trung điểm của AF và trung điểm của BC và DE

Nên các trung điểm đó trùng nhau

Xét 2 tam giác OAM và OCN ta có:

Góc OAM = góc OCN (so le trong)

OA = OC (gt)

Góc AOM = góc CON (đối đỉnh)

=> 2 tam giác trên bằng nhau

=> AM = CN (hai cạnh tương ứng)

=> BM = AB - AM và DN = CD - CN mà AB = CD nên BM = DN và BM // DN (vì AB // CD)

a) Xét hình bình hành ABCD ta có:

AB = CD và AB // CD; AD = BC và AD // BC

Mà E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD nên ta có:

AE = DF (gt)

AE // DF (vì AB // CD)

=> AEFD là hình bình hành

Tương tự như AECF ta có:

AE = CF (gt)

AE // CF (vì AB // CD)

=> AECF là hình bình hành

b) Vì AEFD là hình bình hành nên EF = AD và EF // AD

Tương tự AECF là hình bình hành nên AF = EC và AF // EC