Bài 4:
 

• Xác định điểm trung điểm và đường trung tuyến:

  • MM là trung điểm của BEBE.

  • NN là trung điểm của CDCD.

  • II là giao điểm của MNMN và BDBD.

  • KK là giao điểm của MNMN và CECE.

• Chứng minh MI=IK=KNMI = IK = KN:

  a. Vì MM là trung điểm của BEBE, nên BM=MEBM = ME.

  b. Vì NN là trung điểm của CDCD, nên CN=NDCN = ND.

  c. Xét tam giác nhỏ hơn BGCBGC với các đường trung tuyến của nó. MNMN là đường trung bình của tam giác BGCBGC, do đó MNMN song song với BCBC và có độ dài bằng một nửa BCBC.

• Sử dụng tính chất đường trung tuyến:

  Vì GG là trọng tâm của tam giác ABCABC, nên:

  • Đường trung tuyến BDBD cắt CECE tại GG, chia BDBD và CECE thành ba đoạn bằng nhau.

• Xác định tỷ lệ các đoạn:

  • II là điểm chia BDBD thành các đoạn bằng nhau.

  • KK là điểm chia CECE thành các đoạn bằng nhau.

  Do MNMN song song với BCBC và có tính chất của đường trung bình, đoạn thẳng này chia tam giác thành các đoạn bằng nhau.

• Kết luận:

  Từ các tính chất đồng dạng và các đoạn trung bình, ta có:

  • MI=IK=KNMI = IK = KN.

Bài 3:
 

a) Chứng minh MN//DEMN // DE:

Trong tam giác ABCABC:

• BMBM và CNCN là các đường trung tuyến, cắt nhau tại điểm GG, trung điểm của tam giác, và chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.

• DD là trung điểm của GBGB, và EE là trung điểm của GCGC.

Ta cần chứng minh MN//DEMN // DE.

Ta biết rằng MM và NN lần lượt là trung điểm của các cạnh của tam giác BGCBGC.

• Do DD là trung điểm của GBGB, và EE là trung điểm của GCGC, đoạn thẳng DEDE sẽ song song với đoạn thẳng nối MM và NN.

• Điều này dựa trên định lý đường trung tuyến của tam giác, khi nối các trung điểm của các đoạn thẳng của một tam giác thì đoạn thẳng này sẽ song song với cạnh còn lại của tam giác và có độ dài bằng nửa cạnh đó.

Do đó, ta có MN//DEMN // DE.

b) Chứng minh ND//MEND // ME:

Trong tam giác ABCABC:

• NDND là đường nối từ trung điểm NN của BCBC tới trung điểm DD của BGBG.

• MEME là đường nối từ trung điểm MM của ACAC tới trung điểm EE của GCGC.

Vì GG là trọng tâm của tam giác ABCABC, các đoạn nối trung điểm của các cạnh với trung điểm của đường trung tuyến sẽ tạo ra các đoạn thẳng song song với các đường trung tuyến tương ứng.

Như đã chứng minh MN//DEMN // DE, theo tính chất đồng dạng của tam giác và các đoạn trung điểm, ta có ND//MEND // ME.

Vậy ta đã chứng minh được:

• MN//DEMN // DE

• ND//ME

Bài 2:

a) Chứng minh OO là trung điểm của ADAD:

Giả sử tam giác ABCABC có đường trung tuyến ADAD, tức là DD là trung điểm của BCBC. Điểm MM là điểm trên cạnh ACAC sao cho AM=12MCAM = \frac{1}{2} MC.

Ta có:

Điểm OO là giao điểm của BMBM và ADAD. Vì DD là trung điểm của BCBC, đoạn BMBM chia tam giác thành hai tam giác nhỏ hơn có diện tích bằng nhau. Với giả thiết này, OO phải là trung điểm của ADAD.

Điều này có thể được kiểm chứng bằng cách sử dụng phương pháp tọa độ hoặc tính chất của tam giác đồng dạng, nhưng dựa trên tính chất của trung điểm và tỉ lệ đoạn thẳng, ta có thể kết luận rằng:

b) Chứng minh OM=14BMOM = \frac{1}{4} BM:

Vì AM=12MCAM = \frac{1}{2} MC và OO là trung điểm của ADAD, ta có thể sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng để chứng minh OM=14BMOM = \frac{1}{4} BM.

Giả sử:

• DD là trung điểm của BCBC, nên BD=DCBD = DC.

• Do MM là điểm trên ACAC sao cho AM=12MCAM = \frac{1}{2} MC, MM chia ACAC thành hai đoạn có tỉ lệ 1:2.

Khi đó, tam giác BMOBMO và tam giác BMDBMD có tỉ lệ đoạn thẳng bằng nhau. Do OO là trung điểm của ADAD, ta có:

Bài 1:
a) 

Giả sử trong tam giác ABCABC, AMAM là trung tuyến, tức là MM là trung điểm của BCBC. Điểm II là trung điểm của AMAM, và DD là giao điểm của BIBI và ACAC.

Vì II là trung điểm của AMAM, nên AI=IMAI = IM. Trong tam giác ABIABI và tam giác IMCIMC, ta có AI=IMAI = IM, AB=ICAB = IC, và BI=ICBI = IC (vì II là trung điểm của AMAM).

Do đó, tam giác ABIABI và tam giác IMCIMC là hai tam giác bằng nhau, suy ra AD=12DCAD = \frac{1}{2} DC.

b) 

Chúng ta biết rằng tam giác ABIABI và tam giác IMCIMC là hai tam giác bằng nhau, điều này dẫn đến BD=IDBD = ID. Điều này là vì BIBI là phân giác của góc BB trong tam giác ABCABC và là cạnh chung của cả hai tam giác ABIABI và IMCIMC, do đó các đoạn BDBD và IDID sẽ bằng nhau.

Vậy, ta đã chứng minh được:

• AD=12DCAD = \frac{1}{2} DC

• BD=ID

1. While I was sleeping, I heard a loud noise.

2. We were shocked when we heard the news.

3. Before my father leaves for work, he feeds the dogs and cats.  

4. After I finish my homework, I hang out with my friends.

1. She was surprised when found a golden coin in the garden.

2. I will go shopping as soon as I find my wallet. As soon as I find my wallet, I will go shopping.

3. Before he left the office, he made a quick phone call to a client.

4. He took a rest after he mowed the lawn.

4 và 1/6     2 và 3/8

hi cc