M là trung điểm của $BE$, suy ra $MB=ME$.

$N$ là trung điểm của $CD$, suy ra $NC=ND$.

Vì $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BE$ và $CD$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $BEC$, suy ra:

MN∥BCvaˋMN=12BC.MN \parallel BC \quad \text{và} \quad MN = \frac{1}{2} BC.

Vì $MN$ cắt hai trung tuyến $BD$ và $CE$, nên $I$ và $K$ chính là các điểm chia đều đoạn thẳng $MN$.

Ta áp dụng định lý Thales hoặc tính chất chia tỷ lệ của trọng tâm để suy ra rằng:

MI=IK=KN.MI = IK = KN.

Vì $G$ là trọng tâm, nó chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$, nên:

BG=23BM,GC=23CN.

BG = \frac{2}{3} BM, \quad GC = \frac{2}{3} CN.

Do $D$ là trung điểm của $GB$ và $E$ là trung điểm của $GC$, ta có:

$$DE\text{ là đường trung bình của tam giác }GBC.$$

$$Theo\; tính\; chất\; đường\; trung\; bình,\; suy\; ra:$$

$$DE\parallel BC\; vàDE=$$1/2$$BC.$$

Tương tự, $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, nên:

MN∥BCvaˋMN=12BC.MN \parallel BC \quad \text{và} \quad MN = \frac{1}{2} BC.

Vì $MN\parallel BC$ và $DE\parallel BC$, suy ra:

$$MN\parallel DE$$

(b) ND∥MEND \parallel ME

Xét tam giác $BGC$, ta có:

D là trung điểm của $GB$

$E$ là trung điểm của $GC$.

Do đó, $DE$ là đường trung bình của tam giác $BGC$, nên $DE\parallel BC$.

Mặt khác:

$N$ là trung điểm của $AC$.

$M$ là trung điểm của $AB$.

Do đó, $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, nên $MN\parallel BC$.

Suy ra:

ND∥ME

$ta\; sử\; dụng\; trọng\; tâm\; để\; chứng\; minh\; rằng:$

Vì $AM:MC=2:1$

$ta\; có:$

$AD$ là trung tuyến, nên $D$ là trung điểm của BC

Do $M$ chia $AC$ theo tỉ lệ $2:1$ và đường $BM$ cắt $AD$ tại $O$, theo tính chất của đường trung tuyến và tỉ lệ trong tam giác, ta có:

AO=OD hay O là trung điểm của AD                                                                                                                       

b)Ta xét hai đường cắt nhau:

• $BM$ là đường chia trong tam giác.
• $O$ là trung điểm của $AD$, nên O chia $BM$ theo một tỉ lệ cố định.

• Theo tính chất của điểm trọng tâm và chia đoạn, ta có:

  OM=14BMOM = \frac{1}{4} BM

  Tức là đoạn $OM$ ngắn bằng 14\frac{1}{4}​ đoạn $BM$

   

M là trung điểm của $BC$, do đó $AM$ là trung tuyến.

$I$ là trung điểm của AM
                                                                                                                                            Đường trung tuyến $AM$ cắt đường trung tuyến $BI$ tại $I$, nên I chính là trọng tâm của tam giác

Vì I nằm trên $AM$, ta có: AI=23AM,IM=
13AM

Tương tự, vì I là trọng tâm, nó chia đường trung tuyến $AC$ tại D theo tỉ lệ $2:1$, VậyAD=12DC.

Vì $I$ là trọng tâm, nó chia đường trung tuyến $BI$ theo tỉ lệ $2:1$, nên:

BD=2ID.BD = 2 ID.

$$AD\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; DC.$$