\(\dfrac{a+b-2c}{c}=\dfrac{b+c-2a}{a}=\dfrac{c+a-2b}{b}=\)

\(=\dfrac{a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b}{c+a+b}=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b-2c}{c}=0\Leftrightarrow a+b=2c\)

\(\Rightarrow\dfrac{b+c-2a}{a}=0\Leftrightarrow b+c=2a\)

\(\Rightarrow\dfrac{c+a-2b}{b}=0\Leftrightarrow c+a=2b\)

Ta có

\(M=\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)=\)

\(=\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{c+a}{a}=\dfrac{2c.2a.2b}{b.c.a}=8\)

a/

Xét tg vuông MOA và tg vuông MOB có

OM chung; \(\widehat{xOz}=\widehat{yOz}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta MOA=\Delta MOB\) (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\) => MO là phân giác của \(\widehat{BMA}\)

b/

Xét \(\Delta AHO\) và \(\Delta BHO\)

\(\Delta MOA=\Delta MOB\left(cmt\right)\Rightarrow OA=OB;OH\) chung

\(\widehat{xOz}=\widehat{yOz}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AHO=\Delta BHO\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AHO}=\widehat{BHO}\)

Mà \(\widehat{AHO}+\widehat{BHO}=\widehat{AHB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AHO}=\widehat{BHO}=\dfrac{\widehat{AHB}}{2}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow OM\perp AB\)

c/

Ta có

DE//AB (gt); \(OM\perp AB\left(cmt\right)\Rightarrow OM\perp DE\)

Xét \(\Delta ODE\)

\(OM\perp DE\left(cmt\right)\)

\(MB\perp Oy\left(gt\right)\Rightarrow DM\perp OE\)

=> M là trực tâm của \(\Delta ODE\)

\(\Rightarrow EM\perp OD\) (trong tg 3 đường cao đông quy)

Mà \(MA\perp Ox\left(gt\right)\Rightarrow MA\perp OD\)

\(\Rightarrow EM\equiv MA\) (Từ 1 điểm bên ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho)

=> A, M, E thẳng hàng

Số điểm tối đa đạt được

50x20=1000 điểm

Số điểm mỗi câu sai bị mất là

20+15=35 điểm

Tổng số điểm bị mất là

1000-650=350 điểm

Số câu sai là

350:35=10 câu

Số câu đúng là

50-10=40 câu

c/

Ta có AKCI là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow AF=CF\) (trong hình thoi 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét tg vuông AHC có

\(AF=CF\left(cmt\right)\Rightarrow HF=AF=CF=\dfrac{AC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg FHC cân tại F

\(\Rightarrow\widehat{CHF}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân) (1)

Xét tg vuông ABC có

\(\widehat{HAB}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\)) (2)

Từ (1) Và (2) \(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{CHF}\)

2 tg ACM và tg BCM có chung đường cao từ C->AB nên

\(\dfrac{S_{ACM}}{S_{BCM}}=\dfrac{MA}{MB}=1\Rightarrow S_{ACM}=S_{BCM}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)

2 tg ABN và tg ABC có chung đường cao từ A->BC nên

\(\dfrac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow S_{ABN}=\dfrac{1}{4}xS_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{ACN}=S_{ABC}-S_{ABN}=S_{ABC}-\dfrac{1}{4}xS_{ABC}=\dfrac{3}{4}xS_{ABC}=\dfrac{3}{4}x88=66cm^2\)

2 tg BMN và tg AMN có chung đường cao từ N->AB nên

\(\dfrac{S_{AMN}}{S_{BMN}}=\dfrac{MA}{MB}=1\Rightarrow S_{AMN}=S_{BMN}=\dfrac{1}{2}xS_{ABN}=\dfrac{1}{2}x\dfrac{1}{4}sS_{ABC}=\dfrac{1}{8}xS_{ABC}\)

\(S_{MNC}=S_{BCM}-S_{BMN}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}-\dfrac{1}{8}xS_{ABC}=\dfrac{3}{8}xS_{ABC}\)

\(\dfrac{S_{MNC}}{S_{ACM}}=\dfrac{\dfrac{3}{8}xS_{ABC}}{\dfrac{1}{2}xS_{ABC}}=\dfrac{3}{4}\)

2 tg MNC và tg ACM có chung MC nên

\(\dfrac{S_{MNC}}{S_{ACM}}=\) đường cao từ N->MC / đường cao từ A->MC\(=\dfrac{3}{4}\)

2 tg NIC và tg AIC có chung IC nên

\(\dfrac{S_{NIC}}{S_{AIC}}=\) đường cao từ N->MC / đường cao từ A->MC\(=\dfrac{3}{4}\)

Mà \(S_{NIC}+S_{AIC}=S_{ACN}=66cm^2\)

\(\Rightarrow S_{NIC}=\dfrac{66}{3+4}x3\)

Từ C dựng đt // với AD cắt AB tại E

Xét \(\Delta BCE\)

AD//CE \(\Rightarrow\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AE}\) (Talet)

Ta có

\(\widehat{BAD}=\widehat{AEC}\) (góc đồng vị)

\(\widehat{CAD}=\widehat{ACE}\) (góc so le trong)

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{ACE}\Rightarrow\Delta ACE\) cân tại E \(\Rightarrow AE=AC\)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{20}{15}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow CD=x=\dfrac{25}{\left(4+3\right)}.3=\dfrac{75}{7}\)

Đặt biểu thức cần tính là A

\(5A=1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}-\dfrac{1}{5^3}+...+\dfrac{1}{5^{2016}}-\dfrac{1}{5^{2017}}\)

\(6A=5A+A=1-\dfrac{1}{5^{2018}}\)

\(A=\dfrac{1}{6}\left(1-\dfrac{1}{5^{2018}}\right)\)

a/

\(ME\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\)

=> ME//AC (cùng vg với AB) => ME//AF

\(MF\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\left(gt\right)\)

=> MF//AB (cùng vg với AC) => MF//AE

=> AEMF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(\widehat{A}=90^o\)

=> AEMF là HCN

b/

Xét \(\Delta ABC\)

ME//AC (cmt); \(BM=CM\left(gt\right)\) => AE=BE (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

C/m tương tự ta cũng có \(AF=CF\)

Xét \(\Delta ABM\)

\(AE=BE\left(cmt\right);BK=MK\left(gt\right)\)

=> EK là đường trung bình của \(\Delta ABM\) => EK//AM

C/m tương tự khi xét \(\Delta ACM\) ta cũng có FI//AM

=> EK//FI (cùng // với AM)

Xét \(\Delta AHC\)

\(AK=HK\left(gt\right);CM=HM\left(gt\right)\)

=> MK là đường trung bình của \(\Delta AHC\) => MK//AC

Mà \(\widehat{A}=90^o\Rightarrow AB\perp AC\)

\(\Rightarrow MK\perp AB\)

Xét \(\Delta ABM\)

\(MK\perp AB\left(cmt\right);AH\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow AH\perp BM\)

=> K là trực tâm của \(\Delta ABM\)

\(\Rightarrow BK\perp AM\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

a/

Ta có B và C cùng nhìn AO dưới 2 góc = nhau và \(=90^o\)

=> B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

=> A; B; O; C cùng nằm trên một đường tròn

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO có

\(OB=OC=R\)

AO chung

=> tg ABO = tg ACO (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

\(\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A và \(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow OA\perp BC\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

b/

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ADC\)

\(sđ\widehat{ACE}=\dfrac{1}{2}sđcungCE\) (góc giữa tt và dây cung)

\(sđ\widehat{ADC}=\dfrac{1}{2}sđcungCE\) (góc nt)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{ADC}\)

\(\widehat{CAD}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ACE\sim\Delta ADC\left(g.g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AD}\Rightarrow AC^2=AE.AD\)

Xét tg vuông AOC có

\(AC^2=AH.AO\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow AE.AD=AH.AO\)

c/

Xét tg vuông