Xét \(\Delta \mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\) có \(\mathit{A} \mathit{B} = 10\) cm, \(\mathit{A} \mathit{C} = 17\) cm, \(\mathit{B} \mathit{C} = 21\) cm.

Gọi \(\mathit{A} \mathit{H}\) là đường cao của tam giác.

Vì \(\mathit{B} \mathit{C}\) là cạnh lớn nhất của tam giác nên \(\hat{\mathit{B}} , \hat{\mathit{C}} < 9 0^{\circ}\), do đó \(\mathit{H}\) nằm giữa \(\mathit{B}\) và \(\mathit{C}\).

Đặt \(\mathit{H} \mathit{C} = x , \mathit{H} \mathit{B} = y\), ta có : \(x + y = 21\) (1)

Mặt khác \(\left(\mathit{A} \mathit{H}\right)^{2} = 1 0^{2} - y^{2} , \left(\mathit{A} \mathit{H}\right)^{2} = 1 7^{2} - x^{2}\) nên \(x^{2} - y^{2} = 1 7^{2} - 1 0^{2} = 289 - 100 = 189\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x + y = 21\), \(x - y = 9\).

Do đó \(x = 15\), \(y = 6\).

Ta có \(\left(\mathit{A} \mathit{H}\right)^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 64\) nên \(\mathit{A} \mathit{H} = 8\).

Vậy \(\mathit{S}_{\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}} = \frac{21.8}{2} = 84\) (cm\(^{2}\)).

Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là:

     \(30 : 2 = 15\) (m).

Thể tích của lồng đèn quả trám là:

     \(\mathit{V} = 2. \left(\right. \frac{1}{3} . 20.20.15 \left.\right) = 4 000\) (cm\(^{3}\)).

a) Vì tam giác \(\mathit{K} \mathit{B} \mathit{C}\) vuông tại \(\mathit{K}\) suy ra \(\hat{\mathit{K} \mathit{B} \mathit{H}} = 9 0^{\circ}\)

Vì \(\mathit{C} \mathit{I} \bot \mathit{B} \mathit{I}\) (gt) suy ra \(\hat{\mathit{C} l \mathit{H}} = 9 0^{\circ}\)

Xét \(\triangle \mathit{K} \mathit{B} \mathit{H}\) và \(\triangle \mathit{C} \mathit{H} \mathit{I}\) có:

\(\hat{\mathit{K} \mathit{B} \mathit{H}} = \hat{\mathit{C} \mathit{I} \mathit{H}} = 9 0^{\circ}\);

\(\hat{\mathit{B} \mathit{H} \mathit{K}} = \hat{\mathit{C} \mathit{H} \mathit{I}}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta \mathit{B} \mathit{H} \mathit{K} \sim \Delta \mathit{C} \mathit{H} \mathit{I}\) (g.g)

b) Ta có \(\Delta \mathit{B} \mathit{H} \mathit{K} \sim \Delta \mathit{C} \mathit{H} \mathit{I}\) suy ra \(\hat{\mathit{H} \mathit{B} \mathit{K}} = \hat{\mathit{H} \mathit{C} \mathit{I}}\) (hai góc tương ứng) 

Mà \(\mathit{B} \mathit{H}\) là tia phân giác của \(\hat{\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}}\) nên \(\hat{\mathit{H} \mathit{B} \mathit{K}} = \hat{\mathit{H} \mathit{B} \mathit{C}}\).

Do đó \(\hat{\mathit{H} \mathit{B} \mathit{C}} = \hat{\mathit{H} \mathit{C} \mathit{I}}\).

Xét \(\triangle \mathit{C} \mathit{I} \mathit{B}\) và \(\triangle \mathit{H} \mathit{I} \mathit{C}\) có:

\(\hat{\mathit{C} \mathit{I} \mathit{B}}\) chung;

\(\hat{\mathit{I} \mathit{B} \mathit{C}} = \hat{\mathit{H} \mathit{C} \mathit{I}}\) (cmt)

Vậy \(\Delta \mathit{C} \mathit{I} \mathit{B} \approx \Delta \mathit{H} \mathit{I} \mathit{C}\) (g.g) suy ra \(\frac{\mathit{C} \mathit{I}}{\mathit{H} \mathit{I}} = \frac{\mathit{I} \mathit{B}}{\mathit{I} \mathit{C}}\)

Hay \(\left(\mathit{C} \mathit{I}\right)^{2} = \mathit{H} \mathit{I} . \mathit{I} \mathit{B}\)

c) Xét \(\triangle \mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\) có \(\mathit{B} \mathit{I} \bot \mathit{A} \mathit{C}\); \(\mathit{C} \mathit{K} \bot \mathit{A} \mathit{B}\); \(\mathit{B} \mathit{I} \cap \mathit{C} \mathit{K} = \left{\right. \mathit{H} \left.\right}\)

Nên \(\mathit{H}\) là trực tâm \(\triangle \mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\) suy ra \(\mathit{A} \mathit{H} \bot \mathit{B} \mathit{C}\) tại \(\mathit{D}\).

Từ đó ta có \(\triangle \mathit{B} \mathit{K} \mathit{C} \sim \triangle \mathit{H} \mathit{D} \mathit{C}\) (g.g) nên \(\frac{\mathit{C} \mathit{B}}{\mathit{C} \mathit{H}} = \frac{\mathit{C} \mathit{K}}{\mathit{C} \mathit{D}}\)

Suy ra \(\frac{\mathit{C} \mathit{B}}{\mathit{C} \mathit{K}} = \frac{\mathit{C} \mathit{H}}{\mathit{C} \mathit{D}}\) nên \(\triangle \mathit{B} \mathit{H} \mathit{C} \sim \triangle \mathit{K} \mathit{D} \mathit{C}\) (c.g.c)

Khi đó \(\hat{\mathit{H} \mathit{B} \mathit{C}} = \hat{\mathit{D} \mathit{K} \mathit{C}}\) (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự \(\hat{\mathit{H} \mathit{A} \mathit{C}} = \hat{\mathit{I} \mathit{K} \mathit{C}}\)

Mà \(\hat{\mathit{H} \mathit{A} \mathit{C}} = \hat{\mathit{H} \mathit{B} \mathit{C}}\) (cùng phụ \(\hat{\mathit{A} \mathit{C} \mathit{B}}\) )

Suy ra \(\&\text{nbsp}; \hat{\mathit{D} \mathit{K} \mathit{C}} = \hat{\mathit{I} \mathit{K} \mathit{C}}\).

Vậy \(\mathit{K} \mathit{C}\) là tia phân giác của \(\hat{\mathit{I} \mathit{K} \mathit{D}}\)

Có \(19\) kết quả cho hành động trên.

Có \(8\) kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho nên xác suất cho biến cố là: \(\frac{8}{19}\).

1)

a) Xét đường thẳng: \(\left(\right. d_{1} \left.\right) : y = - 3 x\).

Nếu \(x = 0\) thì \(y = 0\) suy ra \(\left(\right. d_{1} \left.\right)\) đi qua điểm có tọa độ \(\left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\)

Nếu \(x = 1\) thì \(y = - 3\) suy ra \(\left(\right. d_{1} \left.\right)\) đi qua điểm có tọa độ \(\left(\right. 1 ; - 3 \left.\right)\)

Ta vẽ đồ thị:

b) Vì \(\left(\right. d_{3} \left.\right) : y = a x + b\) song song với \(\left(\right. d_{2} \left.\right) : y = x + 2\) nên \(a = 1 , b \neq 2\).

Khi đó đường thẳng \(\left(\right. d_{3} \left.\right)\) có dạng \(y = x + b\) với \(b \neq 2\).

Vì \(\left(\right. d_{3} \left.\right)\) đi qua điểm có tọa độ \(\mathit{A} \left(\right. - 1 ; 3 \left.\right)\) nên: \(3 = - 1 + b\) hay \(b = 3 + 1 = 4\) (thỏa mãn).

Vậy đường thẳng \(\left(\right. d_{3} \left.\right)\) là \(\left(\right. d_{3} \left.\right) : y = - x + 4\).

2) Gọi số sản phẩm mà tổ I làm được theo kế hoạch là \(x\).

Điều kiện: \(x \in \mathbb{\mathit{N}}^{*}\); \(x < 900\), đơn vị: sản phẩm.

Số sản phẩm mà tổ II làm được theo kế hoạch là: \(900 - x\) (sản phẩm).

Theo bài ra, do cải tiến kĩ thuật nên tổ một vượt mức \(20 \%\) và tổ hai vượt mức \(15 \%\) so với kế hoạch.

Số sản phẩm mà tổ I làm được theo thực tế là: \(x + x . \&\text{nbsp}; 20 \% = x + 0 , 2 x = 1 , 2 x\) (sản phẩm);

Số sản phẩm mà tổ II làm được theo thực tế là: \(900 - x + \left(\right. 900 - x \left.\right) . 15 \% = 1 035 - 1 , 15 x\) (sản phẩm).

Vì thực tế hai tổ đã sản xuất được \(1 055\) sản phẩm nên ta có phương trình: \(1 , 2 x + 1 035 - 1 , 15 x = 1 055\)

Giải phương trình tìm được \(x = 400\) (sản phẩm)

Khi đó, số sản phẩm mà tổ II làm được theo kế hoạch là: \(900 - 400 = 500\) (sản phẩm).

Vậy theo kế hoạch tổ I làm được \(400\) sản phẩm, tổ II làm được \(500\) sản phẩm.

a) \(2 x = 7 + x\)

\(2 x - x = 7\)

\(x = 7\).

Phương trình đã cho có nghiệm \(x = 7\).

b) \(\frac{x - 3}{5} + \frac{1 + 2 x}{3} = 6\)

\(\frac{3 \left(\right. x - 3 \left.\right)}{15} + \frac{5. \left(\right. 1 + 2 x \left.\right)}{15} = 6\)

\(3 x - 9 + 5 + 10 x = 90\)

\(13 x = 94\)

\(x = \frac{94}{13}\).

Phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{94}{13}\).

Ta có: \(\frac{x - a}{b c} + \frac{x - b}{c a} + \frac{x - c}{a b} = \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c}\)

\(\left(\right. \frac{x - a}{b c} - \frac{2}{a} \left.\right) + \left(\right. \frac{x - b}{c a} - \frac{2}{b} \left.\right) + \left(\right. \frac{x - c}{a b} - \frac{2}{c} \left.\right) = 0\)

\(\frac{a \left(\right. x - a \left.\right) - 2 b c + b \left(\right. x - b \left.\right) - 2 c a + c \left(\right. x - c \left.\right) - 2 a b}{a b c} = 0\)

Điều kiện xác định: \(a , b , c \neq 0\)

Khi đó: \(\frac{\left(\right. a + b + c \left.\right) x - a^{2} - 2 b c - b^{2} - 2 c a - c^{2} - 2 a b}{a b c} = 0\)

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) x = \left(\left(\right. a + b + c \left.\right)\right)^{2}\) 

+ Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có vô số nghiệm.

+ Nếu \(a + b + c \neq 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = a + b + c\).

a) Xét \(\Delta \mathit{A} \mathit{B} \mathit{E}\) và \(\Delta \mathit{A} \mathit{C} \mathit{F}\) có:

\(\hat{\mathit{B} \mathit{A} \mathit{C}}\) chung;

\(\hat{\mathit{A} \mathit{E} \mathit{B}} = \hat{\mathit{A} \mathit{F} \mathit{C}} = 90^{\circ}\);

Do đó \(\Delta \mathit{A} \mathit{B} \mathit{E} \sim \Delta \mathit{A} \mathit{C} \mathit{F}\) (g.g).

Suy ra \(\frac{\mathit{A} \mathit{B}}{\mathit{A} \mathit{C}} = \frac{\mathit{A} \mathit{E}}{\mathit{A} \mathit{F}}\) nên \(\mathit{A} \mathit{B} . \mathit{A} \mathit{F} = \mathit{A} \mathit{C} . \mathit{A} \mathit{E}\).

b) Từ \(\mathit{A} \mathit{B} . \mathit{A} \mathit{F} = \mathit{A} \mathit{C} . \mathit{A} \mathit{E}\) suy ra \(\frac{\mathit{A} \mathit{E}}{\mathit{A} \mathit{F}} = \frac{\mathit{A} \mathit{B}}{\mathit{A} \mathit{C}}\).

Xét \(\Delta \mathit{A} \mathit{E} \mathit{F}\) và \(\Delta \mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\) có:

\(\frac{\mathit{A} \mathit{E}}{\mathit{A} \mathit{F}} = \frac{\mathit{A} \mathit{B}}{\mathit{A} \mathit{C}}\) (cmt);

\(\hat{\mathit{B} \mathit{A} \mathit{C}}\) chung;

Do đó \(\Delta \mathit{A} \mathit{E} \mathit{F} \sim \Delta \mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\) (c.g.c)

Suy ra \(\hat{\mathit{A} \mathit{F} \mathit{E}} = \hat{\mathit{A} \mathit{C} \mathit{B}}\) (cặp góc tương ứng).

c) Xét \(\Delta \mathit{C} \mathit{E} \mathit{B}\) và \(\Delta \mathit{C} \mathit{D} \mathit{A}\) có:

\(\hat{\mathit{A} \mathit{C} \mathit{B}}\) chung;

\(\hat{\mathit{C} \mathit{E} \mathit{B}} = \hat{\mathit{C} \mathit{D} \mathit{A}} = 90^{\circ}\)

Do đó \(\Delta \mathit{C} \mathit{E} \mathit{B} \sim \Delta \mathit{C} \mathit{D} \mathit{A}\) (g.g)

Suy ra \(\frac{\mathit{C} \mathit{B}}{\mathit{C} \mathit{E}} = \frac{\mathit{C} \mathit{A}}{\mathit{C} \mathit{D}}\) (cặp cạnh tương ứng).

Xét \(\Delta \mathit{C} \mathit{B} \mathit{A}\) và \(\Delta \mathit{C} \mathit{E} \mathit{D}\) có:

\(\frac{\mathit{C} \mathit{B}}{\mathit{C} \mathit{E}} = \frac{\mathit{C} \mathit{A}}{\mathit{C} \mathit{D}}\) (cmt);

\(\hat{\mathit{A} \mathit{C} \mathit{B}}\) chung;

Do đó \(\Delta \mathit{C} \mathit{B} \mathit{A} \sim \Delta \mathit{C} \mathit{E} \mathit{D}\) (c.g.c)

Suy ra \(\hat{\mathit{C} \mathit{D} \mathit{E}} = \hat{\mathit{C} \mathit{A} \mathit{B}}\) (cặp góc tương ứng) (1)

Tương tự: \(\hat{\mathit{B} \mathit{D} \mathit{F}} = \hat{\mathit{C} \mathit{A} \mathit{B}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\hat{\mathit{C} \mathit{D} \mathit{E}} = \hat{\mathit{B} \mathit{D} \mathit{F}}\).

Mà \(\hat{\mathit{C} \mathit{D} \mathit{E}} + \hat{\mathit{E} \mathit{D} \mathit{A}} = \hat{\mathit{B} \mathit{D} \mathit{F}} + \hat{\mathit{F} \mathit{D} \mathit{A}}\) suy ra \(\hat{\mathit{E} \mathit{D} \mathit{A}} = \hat{\mathit{F} \mathit{D} \mathit{A}}\).

Suy ra \(\mathit{D} \mathit{A}\) là phân giác của góc \(\mathit{E} \mathit{D} \mathit{F}\).

Mặt khác \(\mathit{A} \mathit{D} \bot \mathit{K} \mathit{D}\) nên \(\mathit{D} \mathit{K}\) là phân giác ngoài của \(\Delta \mathit{D} \mathit{E} \mathit{F}\).

Ta có \(\mathit{D} \mathit{I}\) là phân giác trong của \(\Delta \&\text{nbsp}; \mathit{D} \mathit{E} \mathit{F}\) suy ra \(\frac{\mathit{I} \mathit{F}}{\mathit{I} \mathit{E}} = \frac{\mathit{D} \mathit{F}}{\mathit{D} \mathit{E}}\) (3)

Ta có \(\mathit{D} \mathit{K}\) là phân giác ngoài của \(\Delta \mathit{D} \mathit{E} \mathit{F}\) suy ra \(\frac{\mathit{K} \mathit{F}}{\mathit{K} \mathit{E}} = \frac{\mathit{D} \mathit{F}}{\mathit{D} \mathit{E}}\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{\mathit{I} \mathit{F}}{\mathit{I} \mathit{E}} = \frac{\mathit{K} \mathit{F}}{\mathit{K} \mathit{E}}\).

a) Với \(m = - 1\), hàm số trở thành \(y = - 2 x + 1\).

Xét hàm số \(y = - 2 x + 1\) :

Thay \(x = 0\) thì \(y = 1\).

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - 2 x + 1\) đi qua điểm có tọa độ \(\left(\right. 0 ; 1 \left.\right)\).

Thay \(x = 1\) thì \(y = - 1\).

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - 2 x + 1\) đi qua điểm có tọa độ \(\left(\right. 1 ; - 1 \left.\right)\).

Vẽ đồ thị:

b) Vì đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) : y = a x + b\) song song với đường thẳng \(\left(\right. d^{'} \&\text{nbsp}; \left.\right) : y = - 3 x + 9\) nên: \(a \neq - 3 ; b \neq 9\).

Khi đó ta có: \(\left(\right. d \left.\right) : y = - 3 x + b\) và \(b \neq 9\).

Vì đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) : y = a x + b\) đi qua \(\mathit{A} \left(\right. 1 ; - 8 \left.\right)\) nên: \(- 8 = - 3.1 + b\)

Suy ra \(b = - 5\) (thoả mãn)

Vậy đường thẳng cần tìm là \(\left(\right. d \left.\right) : y = - 3 x - 5\).

Đổi \(20\) phút \(= \frac{1}{3}\) h.

Gọi \(x\) là độ dài quãng đường từ thành phố về quê.

Điều kiện \(x > 0\); đơn vị: km.

Thời gian người đó đi từ thành phố về quê là: \(\frac{x}{30}\) km/h.

Thời gian người đó đi từ quê lên thành phố là: \(\frac{x}{25}\) km/h.

Vì thời gian lúc lên thành phố nhiều hơn thời gian về quê là \(20\) phút nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{25} = \frac{x}{30} + \frac{1}{3}\)

\(\frac{5 x}{750} = \frac{1}{3}\)

\(15 x = 750\)

\(x = 50\) (thỏa mãn).

Vậy độ dài quãng đường từ thành phố về quê là \(50\) km.