Xét tam giác $ABC$, áo dụng tính chất tia phân giác trong tam giác, ta có: 

AMMB=ACCB=ABCB=ANNC(=ba)MBAM​=CBAC​=CBAB​=NCAN​(=ab​)

Vậy $MN$ // $BC$ (Định lí đảo của định lí Thalès)

Suy ra MNBC=AMAB=bb+aBCMN​=ABAM​=b+ab​ (Định lí Thalès)

Vậy nên MN=aba+b.MN=a+bab​.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC=12$ cm.

​a) Xét tam giác $ABC$, áp dụng tính chất tia phân giác ta có:

ADDB=ACCB=126=2DBAD​=CBAC​=612​=2

Suy ra ADAB=23ABAD​=32​ suy ra AD=23.12=8AD=32​.12=8 (cm)

Do đó, $DB=12-8=4$ (cm).

b) Do $CE$ vuông góc với phân giác $CD$ nên $CE$ là phân giác ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ABC$.

Vậy EBEA=BCACEAEB​=ACBC​ hay EBEB+BA=BCACEB+BAEB​=ACBC​

Gọi độ dài $EB$ là $x$ thì xx+12=612x+12x​=126​.

Vậy $x=12$ (cm).

Xét $\Delta BED$ có {MI//EDME=BM{​MI//EDME=BM​ suy ra $ID=IB$.

Xét $\Delta CED$ có {NK//EDNC=ND{​NK//EDNC=ND​ suy ra $KE=KC$.

Suy ra MI=12EDMI=21​ED; NK=12EDNK=21​ED; ED=12BCED=21​BC.

IK=MK−MI=12BC−12DE=DE−12DE=12DEIK=MK−MI=21​BC−21​DE=DE−21​DE=21​DE.

Vậy $MI=IK=KN$.

a) Vì $BM$, $CN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $MA=MC$, $NA=NB$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $MN$ // $BC$. (1)

Ta có $DE$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên $DE$ // $BC$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ // $DE$.

b) Xét $\Delta ABG$, ta có $ND$ là đường trung bình.

Xét $\Delta ACG$, ta có $ME$ là đường trung bình.

Do đó $ND$ // $AG$, $ME$ // $AG$.

Suy ra $ND$ // $ME$.

a) Qua $D$ vẽ một đường thẳng song song với $BM$ cắt $AC$ tại $N$.

Xét $\Delta MBC$ có $DB=DC$ và $DN$ // $BM$ nên MN=NC=12MCMN=NC=21​MC (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác AM=12MCAM=21​MC, do đó AM=MN=12MCAM=MN=21​MC.

Xét $\Delta AND$ có $AM=MN$ và $BM$ // $DN$ nên $OA=OD$ hay $O$ là trung điểm của $AD$.

b) Xét $\Delta AND$ có $OM$ là đường trung bình nên OM=12DNOM=21​DN. (1)

Xét $\Delta MBC$ có $DN$ là đường trung bình nên DN=12BMDN=21​BM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra OM=14BMOM=41​BM.

a) Kẻ $MN$ // $BD$, $N\in AC$.

$MN$ là đường trung bình trong $△CBD$

Suy ra $N$ là trung điểm của $CD$ (1).

$IN$ là đường trung bình trong $△AMN$

Suy ra $D$ là trung điểm của $AN$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra AD=12DCAD=21​DC.

b) Có ID=12MNID=21​MN; MN=12BDMN=21​BD, nên $BD=ID$.