Xét tg ABC có: E là t/đ của AB (gt) và D là t/đ của AC (gt)

=> DE là đg trung bình của tg ABC => ED = 1/2. BC  ; ED//BC

Xét hthang EDCB(ED//BC) có: M là t/đ của BE (gt) và N là t/đ của DC(gt)

=> MN là đg trung bình của hthang EDCB => MN//DE//BC ;  MN = 1/2.(DE+BC) . MÀ DE=1/2.BC (cmt)=> MN=3/2 . DE

=> MI+IK+KN =3/2  . DE  (1)

xét tg BDE có: M là t/đ của BE(gt) ; MI//ED ( vì I thuộc MN ; MN//DE) => I là r/đ của BD => MI là đg trung bình của tg BDE

=> MI =1/2.DE   (2)

 C/m tương tự ta đc: KN là đg trung bình của tg CDE => KN= 1/2.DE  (3)

Từ (2) ,(3)=> MI=KN =1/2.DE  (*)

Thay (2),(3) vào (1) ta đc:  1/2. DE  +IK   +1/2.  DE  =3/2.  DE   =>  IK =1/2. DE   (**)

Từ (*),(**)=> MI=IK=KN    (đpcm)

a) Do BM là đường trung tuyến của $\Delta ABC\left(gt\right)$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của AC

Do CN là đường trung tuyến của $\Delta ABC\left(gt\right)$

$\Rightarrow N$ là trung điểm của AB

$\Delta ABC$ có:

M là trung điểm của AC (cmt)

N là trung điểm của AB (cmt)

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow MN$ // $BC$ (1)

$\Delta ABC$ có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)

$\Rightarrow DE$ là đường trung bình của $\Delta GBC$

$\Rightarrow DE$ // $BC$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow MN$ // $DE$

b) Do MN là đường trung bình của $\Delta ABC\left(cmt\right)$

$\Rightarrow MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{2}$ (3)

Do DE là đường trung bình của $\Delta GBC\left(cmt\right)$

$\Rightarrow DE=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{2}$ (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow MN=DE$

Xét tứ giác MNDE có:

MN // DE (cmt)

$MN=DE=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{2}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow MNDE$ là hình bình hành

c) Do MNDE là hình bình hành (cmt)

$\Rightarrow ND=ME$

Xét tg ABC có

NA=NB; MA=MC => MN là đường trung bình của tg ABC => MN//BC

Xét tg GBC có

DG=DB; EG=EC => DE là đường trung bình của tg GBC => DE//BC

=> MN//DE (cùng // BC)

b/

Xét tg ABG có

NA=NB; DG=DB => ND là đường trung bình của tg ABG => ND//AG

Xét tg ACG có

MA=MC; EG=EC => ME là đường trung bình của tg ACG => ME//AG

=> ND//ME (cùng // với AG)

a) Qua $D$ vẽ một đường thẳng song song với $BM$ cắt $AC$ tại $N$.

Xét $\Delta MBC$ có $DB=DC$ và $DN$ // $BM$ nên $MN=NC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$ (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác $AM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$, do đó $AM=MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$.

Xét $\Delta AND$ có $AM=MN$ và $BM$ // $DN$ nên $OA=OD$ hay $O$ là trung điểm của $AD$.

b) Xét $\Delta AND$ có $OM$ là đường trung bình nên $OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DN$. (1)

Xét $\Delta MBC$ có $DN$ là đường trung bình nên $DN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BM$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}BM$.