a) Xét tam giác APQ và tam giác BPM:

PA=PB

Góc ABQ=góc BPM( 2 góc đối đỉnh) 

Góc QAP= góc MBP( AQ song song với BM)

Suy ra tam giác APQ= tam giác BPM(g-c-g)

Suy ra PQ=PM( 2 cạnh tương ứng)

Suy ra AQBM là hbh(tứ giác có 2 đg chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hbh)

Mà góc QAM=90°

Suy ra AQBM là hcn( hbh có 1 góc vuông là hcn)

c) Ta có: PQ =AB/2 ( PQ là đg trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABQ) (1)

PI= AB/2 ( PQ là đg trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông AIB) (2) 

Từ (1) và (2) suy ra PQ= PI

Suy ra tam giác PIQ cân tại P

Xét tam giác ABC có: BM là đg trung tuyến ứng với AC

Mà BM = 1/2 AC(gt)

Suy ra tam giác ABC vuông tại B

Xét tứ giác ABCD:

Góc DAB= góc ABC= góc BCD= góc ADC=90°

Suy ra ABCD là hcn( tứ giác có 4 góc và là hcn)

Ta có: IH=ID suy ra I là trung điểm của HD

Ta có: AH là đg cao của tam giác ABC(gt)

Suy ra AH vuông góc với BC

Suy ra góc AHC= 90°

Xét tứ giác AHCD:

I là trung điểm của AC(gt)

I là trung điểm của HD(cmt)

Suy ra AHCD là hbh(tứ giác có 2 đg chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hbh)

Mà góc AHCD=90°(cmt)

Suy ra AHCD là hcn( hbh có 1 góc và là hcn)