a) Ta có: $Ax\perp AC$ và $By$ // $AC$

Suy ra $Ax\perp By$ $\Rightarrow \widehat{AMB}=90^{\circ }$.

Xét $\Delta MAQ$ và $\Delta QBM$ có

$\widehat{MQA}=\widehat{BMQ}$ (so le trong);

$MQ$ là cạnh chung;

$\widehat{AMQ}=\widehat{BQM}$ ($Ax$ // $QB$).

Suy ra $\Delta MAQ=\Delta QBM$ (g-c-g)

Suy ra $\widehat{MBQ}=\widehat{MAQ}=90^{\circ }$ (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác $AMBQ$ có: $\widehat{QAM}=\widehat{AMB}=\widehat{MBQ}=90^{\circ }$

Suy ra tứ giác $AMBQ$ là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác $AMBQ$ là hình chữ nhật.

Mà $P$ là trung điểm AB$n\hat{e}n$PQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1)

Xét $\Delta AIB$ vuông tại $I$ và có $IP$ là đường trung tuyến.

Suy ra $IP=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AB$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow QP=IP\Rightarrow \Delta PQI$ cân tại $P$.

• Xét tứ giác ABMD, ta có:
  -  AM = MC (M là trung điểm AC)
  -  BM = 1/2 AC = AM
  => AM = BM
  Mà AB // MD (do ABCD là hình thang)
  => ABMD là hình bình hành  (hai cạnh đối song song và bằng nhau)

• Hình bình hành ABMD có góc A = 90 độ:

  • Vì ABCD là hình thang vuông nên góc A = 90 độ
  • Mà ABMD là hình bình hành
    => ABMD là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật)
    • Trong hình chữ nhật ABMD, ta có:
      - AD = BM (hai cạnh đối diện bằng nhau)
    • Mà BM = 1/2 AC
      => AD = 1/2 AC
    • Mặt khác, trong tam giác vuông ABC, đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền BC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
      => AM = 1/2 BC
      => AD = BC
      => ABCD là hình chữ nhật

- Xét tứ giác AHCD, ta có:
+ HI = ID (gt) và I là trung điểm của AC (gt)
=> AHCD là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

- Ta có hình bình hành AHCD (cmt)

+ Vì tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao nên AH vuông góc với BC.
+ Mà AHCD là hình bình hành (cmt)
=> AHCD là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật).
=> Tứ giác AHCD là hình chữ nhật.