Tìm tất cả các giá trị của tham số m  để phương trình:  

(x^2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m

có 4 nghiệm phân biệt ( x_1, x_2, x_3, x_4 ) thỏa mãn điều kiện:

1/x1+1/x2+ 1/x3+ 1x4 = -1

Xác định các điều kiện để phương trình có 4 nghiệm phân biệt-

Biểu thức (x^2 - 1)(x + 3)(x + 5) có dạng(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5). 

Do đó, phương trình trở thành:

(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = m.

- Điều kiện để phương trình có 4 nghiệm phân biệt là ( m khác 0). Khi đó, các nghiệm được tính từ:

(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = m.

Các giá trị ( m ) khác ( 0 ) sẽ đảm bảo ( x1, x2, x3, x4 ) đều là nghiệm phân biệt. Biểu diễn tổng nghịch đảo nghiệmTừ điều kiện 1/x1+ 1/x2 + 1/x3 + 1/x4 = -1 , sử dụng tính chất của đa thức.

- Nếu phương trình có dạng:

f(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4), 

thì từ định lý Viète, với f(x) là đa thức bậc 4, tổng các nghiệm S = x1 + x2 + x3 + x4 , và tích các nghiệm  P = x1 .x2 .x3. x4 , ta có:

1/x1+ 1/x2 + 1/x3 + 1/x4= {x2 x3 x4 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 + x1 x2 x3}{x1 x2 x3 x4}.

- Định lý Viète áp dụng cho f(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) - m 

  - Tổng các nghiệm: 

  S = 1 + (-1) + (-3) + (-5) = -8.

  - Tích các nghiệm:

  P = (1)(-1)(-3)(-5) = 15.

  - Tổng các tích từng cặp ba nghiệm:

  x2 x3 x4 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 + x1 x2 x3 = (-1)(-3)(-5) + (1)(-3)(-5) + (1)(-1)(-5) + (1)(-1)(-3) = 15 + 15 - 5 - 3 = 22.

Do đó:

1/x1+ 1/x2+ 1/x3+ 1x4 = 22/15

- Để thỏa mãn bài toán rằng {22}/{15} = -1  m ko thỏa mãn .Kết luận: Giá trị  m  không tồn tại thỏa mãn. 

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp:

* Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B, nên ta có

    * ∠MAO = 90°

    * ∠MBO = 90°

* Xét tứ giác MAOB, ta có:

    * ∠MAO + ∠MBO = 90° + 90° = 180°

* Vì tổng hai góc đối nhau trong tứ giác MAOB bằng 180°, nên tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).