a) Xét : $\Delta ADHv\grave{a}\Delta CBK$ có :

              góc : AHD = góc : CKB ( = 90 độ )

             AD=BC ( ABCD là hbh )

            góc ADH = góc CBK ( 2 góc ở vị trí slt tạo bởi 2 đường thẳng song song là AD và BC )

Do đó : $\Delta ADH\text{=}\Delta CBK\left(c.h-g.n\right)$

$\Rightarrow AH\text{=}CK$

Xét t/g AHCK  có : AH//CK ( cùng vuông góc với BD )

                              AH = CK (cmt)

Suy ra : t/g AHCK là hbh.

b) Từ a) : suy ra : AHCK là hbh.

Suy ra : AC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK.

Suy ra : I cũng là trung điểm của AC.

Ta có : ABCD là hbh.

Suy ra : AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường .

Mà I là trung điểm của AC.

Suy ra : I cũng là trung điểm của BD.

Suy ra : IB=ID.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tg ABG có

NA=NC; PB=PG => PN là đường trung bình của tg ABG

$\Rightarrow PN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AG$ (1)

=> PN//AG (2)

Xét tg ACG có

MA=MC; QC=QG => QN là đường trung bình của tg ACG

$\Rightarrow QM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AG$ (3)

=> QM//AG (4)

Từ (2) và (4) => PN//QM

Từ (1) và (3) $\Rightarrow PN=QM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AG$

=> PQMN là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ nên $OA=OC$, $OB=OD$.

+ $AB$ // $CD$ nên $AM$ // $CN$ suy ra $\widehat{OAM}=\widehat{OCN}$ (hai góc so le trong).

Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OCN$ có:

        $\widehat{O A M} = \widehat{O C N} (chứng minh trên)

        $OA=OC$ (chứng minh trên)

        $\widehat{AOM}=$\widehat{C O N} (hai góc đối đỉnh)

Do đó $\Delta OAM=\Delta OCN$ (g.c.g).

Suy ra $AM=CN$ (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, $AB=CD$ (chứng minh trên);

$AB=AM+BM$; $CD=CN+DN$.

Suy ra $BM=DN$.

Xét tứ giác $MBND$ có:

        $BM$ // $DN$ (vì $AB$ // $CD$)

        $BM=DN$ (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác $MBND$ là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$AB, CF = DF = $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.