Ta có DE//AC $\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CD}{BC}$ (Talet)

Ta có DF//AB $\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{AF}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BD}{BC}$ (Talet)

$\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{AB}+\genfrac{}{}{0ex}{}{AF}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CD}{BC}+\genfrac{}{}{0ex}{}{BD}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{BC}=1\left(dpcm\right)$

Ta có DE//AC $\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CD}{BC}$ (Talet)

Ta có DF//AB $\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{AF}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BD}{BC}$ (Talet)

$\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{AB}+\genfrac{}{}{0ex}{}{AF}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CD}{BC}+\genfrac{}{}{0ex}{}{BD}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{BC}=1\left(dpcm\right)$

Ta có: AB // CD (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét ta có:

Suy ra (hệ quả định lí ta-lét)

Vậy OA.OD = OB.OC

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có $\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$ hay $AG=\frac{2}{3}AD$.

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: $\frac{AG}{AD}=\frac{BM}{BD}=\frac{2}{3}$.

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên $\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{2BD}=\frac{2}{2.3}=\frac{1}{3}$.

Do đó $BM=\frac{1}{3}BC$ (đpcm).

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có $\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$ hay $AG=\frac{2}{3}AD$.

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: $\frac{AG}{AD}=\frac{BM}{BD}=\frac{2}{3}$.

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên $\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{2BD}=\frac{2}{2.3}=\frac{1}{3}$.

Do đó $BM=\frac{1}{3}BC$ (đpcm).

Trong tam giác ADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra $\frac{DN}{DB}=\frac{MN}{AB}$ (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác ACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra $\frac{CQ}{CB}=\frac{PQ}{AB}$ (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: NQ // AB (gt)

            AB // CD (gt)

Suy ra NQ // CD

Trong tam giác BDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra $\frac{DN}{DB}=\frac{CQ}{CB}$ (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{MN}{AB}=\frac{PQ}{AB}$hay MN = PQ (đpcm).

Xét tam giác ABC có BC ⊥ AB' và B'C'⊥ AB' nên suy ra BC // B'C'.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

$\frac{AB}{A{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B{C}^{\prime }}\Rightarrow \frac{x}{x+h}=\frac{a}{a^{\prime }}\Rightarrow a^{\prime }x=a(x+h)\Rightarrow a^{\prime }x-ax=ah$

$\Rightarrow x\left(a^{\prime }-a\right)=ah\Rightarrow x=\frac{ah}{a^{\prime }-a}$ (đpcm).

Xét tam giác ABC có BC ⊥ AB' và B'C'⊥ AB' nên suy ra BC // B'C'.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

$\frac{AB}{A{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B{C}^{\prime }}\Rightarrow \frac{x}{x+h}=\frac{a}{a^{\prime }}\Rightarrow a^{\prime }x=a(x+h)\Rightarrow a^{\prime }x-ax=ah$

$\Rightarrow x\left(a^{\prime }-a\right)=ah\Rightarrow x=\frac{ah}{a^{\prime }-a}$ (đpcm).

Ta có ABCD là hình thoi nên ⊥ AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên BD là trung trực của AC Suy ra GA=GC,HA=HC (1)(1) Và AC là trung trực của BD suy ra ,  AG=AH,CG=CH (2)(2) Từ (1),(2)(1),(2) suy ra

Do D và H đối xứng nhau qua I (gt)

⇒ I là trung điểm của DH

Do AH là đường cao của ∆ABC (gt)

⇒ AH ⊥ BC

⇒ ∠AHC = 90⁰

Tứ giác AHCD có:

I là trung điểm của AC (gt)

I là trung điểm của DH (cmt)

⇒ AHCD là hình bình hành

Mà ∠AHC = 90⁰ (cmt)

⇒ AHCD là hình chữ nhật