-Tứ giác AHCK là hình bình hành vì AH∥CKAH \parallel CK và AK∥CHAK \parallel CH.

-Do I là trung điểm của HK và H, K nằm trên BD nên IB = ID.

-Tứ giác EBFD là hình bình hành vì E và F là trung điểm của AD và BC, và AD // BC, AD = BC.- Ba điểm E, O, F thẳng hàng vì O là giao điểm của các đường chéo, và E, F là trung điểm của AD và BC, do đó E, O, F thẳng hàng

• AEFD: AB=BEAB = BE (do B là trung điểm), CD=CFCD = CF (do C là trung điểm). Do ABCD là hình bình hành, AB//CDAB // CD. Vậy AEFD là hình bình hành.

• ABFC: Tương tự, ta có AB=BEAB = BE, CD=CFCD = CF, AB//CDAB // CD. Vậy ABFC là hình bình hành.

• Trung điểm của AF, DE và BC đều trùng tại một điểm do tính chất hình bình hành.

1. ΔOAM=ΔOCN\Delta OAM = \Delta OCN:

   • O là trung điểm của AC (đường chéo của hình bình hành).

   • OA=OCOA = OC (vì O là trung điểm).

   • ∠OAM=∠OCN\angle OAM = \angle OCN (góc đối đỉnh).

   • OM=ONOM = ON (trung điểm AC).

=> ΔOAM=ΔOCN\Delta OAM = \Delta OCN (c.g.c).

2. Tứ giác MBND là hình bình hành:

   • OM=ONOM = ON

   • AM//CNAM // CN và AM=CNAM = CN (vì ΔOAM=ΔOCN\Delta OAM = \Delta OCN).

   • BM//DNBM // DN và BM=DNBM = DN (tính chất hình bình hành ABCD).

=> Tứ giác MBND là hình bình hành.

Tứ giác AEFD:

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Vì E là trung điểm của AB nên AE=EBAE = EB.

Vì F là trung điểm của CD nên CD=FDCF = FD.

Do ABCD là hình bình hành, nên AB//CDAB // CD và AB=CDAB = CD.

Từ đó, ta có AE//FDAE // FD và AE=FDAE = FD (vì chúng là nửa của hai cạnh đối song song và bằng nhau).

=> Tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác AECF:

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Vì E là trung điểm của AB nên AE=EBAE = EB.

Vì F là trung điểm của CD nên CF=FDCF = FD.

Do ABCD là hình bình hành, nên AD//BCAD // BC và AD=BCAD = BC.Từ đó, ta có AF//ECAF // EC và AF=ECAF = EC (vì chúng là nửa của hai cạnh đối song song và bằng nhau).

=> Tứ giác AECF là hình bình hành.

Chứng minh EF = AD, AF = EC:

EF = AD:

Do AEFD là hình bình hành, nên hai cạnh đối của nó bằng nhau, tức là AE=FDAE = FD.

Tương tự, vì ABCD là hình bình hành, nên AB=CDAB = CD.

Vì E và F là trung điểm của AB và CD, nên EFEF là đoạn nối giữa hai điểm trung điểm của hai cạnh đối của hình bình hành ABCD, do đó EF=AB+CD2EF = \frac{AB + CD}{2}.

Vì AB=CDAB = CD, nên EF=AB=ADEF = AB = AD.

=> EF=ADEF = AD.

AF = EC:

Do AECF là hình bình hành, nên hai cạnh đối của nó bằng nhau, tức là AF=ECAF = EC.

=> AF=ECAF = EC.