a) Vì AH, CK vuông góc với BD (giả thiết).                                              Suy ra AH // CK.                                      vì ABCD là hình bình hành (giả thiết).                                               Suy ra AD = BC; AD // BC.                    Xét tam giác ADH và tam giác CBK ta có:                                                   góc AHD = góc CKB =90 độ (giả thiết).                                           AD = BC (chứng minh trên)             Góc ADH = góc CBK (do AD // BC).    Suy ra tam giác ADH = tam giác CBK (ch-gn).                                         Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng).                                                      Mà AH = CK (chứng minh trên).           Suy ra AHCK là hình bình hành             b) Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm.                         Mà I là trung điểm của HK.                    Suy ra I là trung điểm của AC.               Ta lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm.                         Suy ra I là trung điểm của BD hay IB = ID

ABCD là hình bình hành nên AD = BC  và AD // BC.                                   Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;                                               F là trung điểm của BC  nên BF = FC                                                         Suy ra DE = BF.                               Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)       b) Vì ABCD là hình bình hành (giả thiết).                                               Suy ra O là trung điểm của AC và BD                                                   Mà DEBF là hình bình hành (giả thiết).                                               Suy ra O cũng là điểm của EF             Suy ra E , O , F thẳng hàng 

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC . Suy ra GM = GB/2 ; GN = GC/2 (tính chất trọng tâm của tam giác) (1).                                   Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên GP = PB = GB/2 (2).           Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên GQ = QC = GC/2 (3).               Từ (1), (2) và (3) suy ra GM = GP và GN = GQ.                                      Xét tứ giác PQMN có: GM = GP và GN = GQ (chứng minh trên).           Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành 

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD                          Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.                                   Suy ra AE = DF, AB = BE = CD = CF.                                                   Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).            Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành                                                    Tứ giác ABFC có AE // DF (vì AB //CD); AB = CF (chứng minh trên).        Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.                                               b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.     Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC                           Mà O là trung điểm của AF.             Suy ra O cũng là trung điểm của BC.                                                      Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau 

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:                                                       •Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA=OC, OB=OD.   •AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM = góc OCN (hai góc so le trong).                                                       Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:                                           Góc OAM = góc OCN (chứng minh trên)                                                 OA=OC (chứng minh trên).             Góc AOM = góc CON (hai góc đối đỉnh).                                               Do đó tam giác AOM = tam giác OCN (g.c.g).                                          Suy ra AM=CN (hai cạnh tương ứng).                                                     Mặt khác, AB=CD (chứng minh trên); AB=AM + BM; CD= CN + DN.                                             Suy ra BM=DN.                               Xét tứ giác MBND có:                            •BM // DN (vì AB // CD).                      •BM = DN (chứng minh trên).              Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.   

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB=CD, từ đó AE//CF, AE=EB=DF=FC. Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau.                         b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD=EF. Vì AECF là hình bình hành nên AF=EC