) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AD$ // $BC$ và $AD=BC$.

Do $AD$ // $BC$ nên $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$ (so le trong)

Xét $\Delta ADH$ và $\Delta CBK$ có:

     $\widehat{AHD}=\widehat{CKB}=90^{\circ }$;

     $AD=BC$ (chứng minh trên);

     $\widehat{ADH}=\widehat{CBK}$ (do $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$).

Do đó $\Delta ADH=\Delta CBK$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AH=CK$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có $AH\perp DB$ và $CK\perp DB$ nên $AH$ // $CK$.

Tứ giác $AHCK$ có $AH$ // $CK$ và $AH=CK$ nên $AHCK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do $AHCK$ là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo $AC$ và $HK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $I$ là trung điểm của $HK$ (giả thiết) nên $I$ là trung điểm của $AC$.

Do $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $I$ là trung điểm của $AC$ nên $I$ là trung điểm của $BD$, hay $IB=ID$.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

ét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$ (giả thiết) nên $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Suy ra $GM=\genfrac{}{}{0ex}{}{GB}{2}$; $GN=\genfrac{}{}{0ex}{}{GC}{2}$ (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà $P$ là trung điểm của $GB$ (giả thiết) nên $GP=PB=\genfrac{}{}{0ex}{}{GB}{2}$ (2)

$Q$ là trung điểm của $GC$ (giả thiết) nên $GQ=QC=\genfrac{}{}{0ex}{}{GC}{2}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $GM=GP$ và $GN=GQ$.

Xét tứ giác $PQMN$ có: $GM=GP$ và $GN=GQ$ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác $PQMN$ có hai đường chéo $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại trung điểm $G$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) vì ABCD là hbh nên AB=CD;AB//CD

mà hai điểm B,C lần lượt là trung điểm AE,DF

=> AE = DF ; AB = BE = CD = CF

tứ giác AEFD có AE//DF(vì AB//CD);AE=DF(chứng minh trên)

do đó tứ giác AEFD là hbh

tứ giác ABFC có AB//CF(vì AB//CD);AB=CF( chứng minh trên )

do đó tứ giác ABFC là hbh

b)vì hbh AEFD coa hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,ta gọi giao điểm đó là O

hbh AEFD có hai đường chéo AF và BC

mà O là trung điểm của AF

=> O cũng là trung điểm của BC

 vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau

vì ABCD là hbh nên ta có:

+ hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC.OB =OD

+ AB//CD nên AM//CN => góc OAM = góc OCN (hai góc so le trong)

xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

góc OAM = góc OCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

góc AOM = góc CON ( hai góc đối đỉnh)

do đó tam giác OAM = tam giác OCN (c.g.c)

=> AM = CN (hai cạnh tương ứng)

mặt khác AB = CD (chứng minh trên)

AB=AM+BM ; CD=CN+DN

=> BM = DN

xét tứ giác MBND có:

BM//DN (vì AB//CD)

BM=ND(chứng minh trên )

do đó tứ giác MBND là hbh

a) vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD,AB//CD

Mà E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD nên AE=BE=một phần hai AB,CF=DF=một phần hai CD 

Do đó AE=BE=CF=DF

Xét tứ giác AEFD có:

AE//DF (vì AB//CD)

Do đó tứ giác AEFD là hbh

Xét tứ giác AECF có:

AE//CF (vì AB//CD)

AE=CF ( chứng minh trên )

Do đó tứ giác AECF là hbh

Vậy hai tứ giác AEFD,AECF là những hbh

b) Vì tứ giác AECF là hbh nên AF=EC

Vậy EF=AD=EC