a) Do MN DE tại N, MK 1 DF tại K nên hat MND = 90 deg và hat MKD = 90 deg

Tứ giác DKMN có overline KDN = 90 deg ; hat MKD = 90 deg ; hat MND = 90 deg nên DKMN là hình chữ nhật.

b) ADEF vuông tại D và DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

MD = 1/2 * EF =ME^ * Suy ra AMDE cân tại M.

Ta lại có MNI DE tại N, suy ra đường cao MN cũng đồng thời là đường trung tuyến của AMDE, suy ra ND = NE = (DE)/2

Tứ giác DHEM có: ND = NE và NH = NM (do H là điểm đối xứng với M qua N).

Suy ra DHEM là hình bình hành.

Do đó DH // ME và DH = ΜΕ.

Mà M là trung điểm EF nên ME = MF

Khi đó DH // MF và DH = MF nên tứ giác DHMF là hình bình hành.

Hơn nữa, O là trung điểm của DM, suy ra O cũng là trung điểm của HF.

Vậy H, O, F thẳng hàng.

c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của KDN, hay DM là đường phân giác của

Khi đó DM là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác xuất phát từ D của ADEF

Do đó ADEF cân tại D

Suy ra ADEF vuông cân tại D.

Vậy ADEF vuông cân tại D thì DKMN là hình vuông.

a) Vì I là trung điểm của AB nên IA = IB = (- A * B)/2 * AB(1)

Vì K là trung điểm của CD nên KD = KC = 1/2 * CD (2)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra IA = IB = KC =KD(= 1 2 AB).

Ta có AB = 2BC

suy ra BC = 1/2 * AB suy ra IA =IB = KC = KD = BC =AD(= 1/2 AB)

Xét tứ giác AIKD có: AI // DK (vì ABCD là hình chữ nhật); AI = DK (chứng minh trên)

Suy ra tứ giác AIKD là hình bình hành.

Ta lại có AI = AD nên AIKD là hình thoi.

Mà hat A = 90 deg nên AIKD là hình vuông.

Tương tự, tứ giác BIKC có: BI // CK và BI = CK nên BIKC là hình bình hành.

Lại có BI = BC nên BIKC là hình thoi.

Mà hat B = 90 deg nên BIKC là hình vuông.

b) Vì AIKD là hình vuông nên IK = AD = BC = 1/2 * AB = 1/2 * CD

Suy ra IK = 1/2 * CD

Vì AIKD là hình vuông nên ID là đường phân giác của AIK.

Suy ra DTK = AIK:2 = (90°)/2 = 45° .

Vì BIKC là hình vuông nên IC là đường phân giác của BIK.

Suy ra CIK = BIK:2 = (90°)/2 = 45° .

Do đó hat DIC =DIK + CIK= 45° + 45°=90^ .Vậy DIC=90° .

• Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Mà AM = BN = CP = DQ

Suy ra AB-AM-BC-BNCD-CPDA - DQ

Hay MBNC = PD = QA

• Xét AAMQ và ABNM có:

MAQNBM=90°;

AM = BN (giả thiết);

QA = MB (chứng minh trên)

Do đó AAMQ = ABNM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ.

Khi đó MN = NP = PQ = QM.

• Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

• Do AAMQ = ABNM (chứng minh trên) nên AMQ=BNM (hai góc tương ứng)

Mà BNM + BMN = 90° (do ABMN vuông tại B)

Suy ra AMQ+BMN = 90°

Lại có AMQ+QMN+BMN = 180°

Suy ra QMN=180° -(AMQ+BMN)= =180°-90°=90°.

• Hình thoi MNPQ có QMN = 90° nên là hình vuông.

a: Xét ∆ABC có

M,I lần lượt là trung điểm của CB,СА

=>MI là đường trung bình của ДАВС

=>MI//AB và MI=AB/2

Xét tứ giác ABMI có MI//AB

nên ABMI là hình thang

Hình thang ABMI có ABvuôngAI

nên ABMI là hình thang vuông

b: Ta có: ∆ABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Xét tứ giác AMCD có

I là trung điểm chung của AC và MD

=>AMCD là hình bình hành

Hình bình hành AMCD có MA=MC

nên AMCD là hình thoi

c: AMCD là hình thoi

=>ACvuôngMD tại I

Xét tứ giác AHMI có

AHM = AIM = HAI = 90°

=>AHMI là hình chữ nhật

=>AM cắt HI tại trung điểm của mỗi đường và AM=HI

=>O là trung điểm chung của AM và HI

Xét ACAM có

CO,MI là các đường trung tuyến

CO cắt MI tại K

Do đó: K là trọng tâm của ACAM

Xét ACAM có

MI là đường trung tuyến

K là trọng tâm của ACAM

Do đó: MK = 2/3 × MI = 2/3 × 1/2 MD = 1/3 × MD Ta có: MK+KD=MD => KD + 1/3 × MD = MD => KD = 2/3 × MD

=> KD = 2 × 1/3 × MD = 2MI

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên ∠B = ∠C = 45°

 Vì ABHE vuông tại H có ∠B = 45° nên ABHE vuông cân tại H.

Suy ra HB = HE

Vì ACGF vuông tại G, có ∠C = 45°nên ACGF vuông cân tại G

Suy ra GC = GF

Ta có: BH = HG = GC (gt)

Suy ra: HE = HG = GF

Vì EH // GF nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);

Lại có ∠(EHG) = 90° nên HEFG là hình chữ nhật.

Mà EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là hình vuông.

xét OBAC có:

ACO^=90°

O^=90°

ABO^=90°

=>OBAC là hcn

mà Om là tia phân giác góc O

=> OBAC là hình vuông