a) $5(x+2y)-15x(x+2y)=5(x+2y).(1-3x)$.

b) $4x^2-12x+9=\left[{(2x)}^2-2.2x.3+3^2\right]={(2x-3)}^2$.

c) ${(3x-2)}^3-3(x-4)(x+4)+{(x-3)}^3-(x+1)\left(x^2-x+1\right)$

$=27x^3-54x^2+36x-8-3\left(x^2-16\right)+x^3-9x^2+27x-27-\left(x^3+1\right)$

$=\left(27x^3+x^3-x^3\right)+\left(-54x^2-3x^2-9x^2\right)+(36x+27x)+(-8+48-27-1)$

$=27x^3-66x^2+63x+12$.

a) Thay $x=2$ (thỏa mãn điều kiện xác định) vào $Q=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{x^2-9}$, ta được:

$Q=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{x^2-9}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2+1}{2^2-9}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{-5}=-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}$.

b) $P=\genfrac{}{}{0ex}{}{2x^2-1}{x(x+1)}-\genfrac{}{}{0ex}{}{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{3x}{x(x+1)}$

$P=\genfrac{}{}{0ex}{}{2x^2-1-\left(x^2-1\right)+3x}{x(x+1)}$

$P=\genfrac{}{}{0ex}{}{2x^2-1-x^2+1+3x}{x(x+1)}$

$P=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2+3x}{x(x+1)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+3}{x+1}$.

c) Ta có $M=P.Q=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+3}{x+1}.\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{x^2-9}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+3}{(x-3)(x+3)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x-3}$

$M=\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{2}$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x-3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{2}$

$x-3=-2$

$x=1$.

Vậy với $x=1$ thì$M=\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{2}$

Từ $x+y+z=0$ suy ra $x+y=-z$

$x^2+2xy+y^2=z^2$

$x^2+y^2-z^2=-2xy$

ta có: $y^2+z^2-x^2=-2yz$ và $z^2+x^2-y^2=-2zx$.

Do đó $A=\genfrac{}{}{0ex}{}{xy}{-2xy}+\genfrac{}{}{0ex}{}{yz}{-2yz}+\genfrac{}{}{0ex}{}{zx}{-2zx}=-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}=-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$.

Vậy $A=-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$.

a) $\Delta ABC$ vuông tại $A$ suy ra $\widehat{BAC}=90^{\circ }$ suy ra $\widehat{DAE}=90^{\circ }$.

Do $HD\perp AB$ suy ra $\widehat{HDA}=90^{\circ }$; $HE\perp AC$ suy ra $\widehat{HEA}=90^{\circ }$.

Tứ giác $ADHE$ có $\widehat{DAE}=\widehat{HDA}=\widehat{HEA}=90^{\circ }$ suy ra tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật. 

b) Do $\Delta AHD$ vuông tại $D$, áp dụng định lí Pythagore suy ra:

$A{H}^2=A{D}^2+D{H}^2$

$25=16+D{H}^2$

$D{H}^2=9$ nên $DH=3$ cm.

Do $ADHE$ là hình chữ nhật suy ra $S^{ADHE}=AD.DH=4.3=12$ (cm${}^2$).

Vì $y=ax+b$ đi qua điểm $A\left(-1;2\right)$ nên ta có:

$2=-1.a+b$ suy ra $-a+b=2$

Vi $y=ax+b$ đi qua điểm $B\left(1;4\right)$ nên ta có:

$4=1.a+b$ suy ra $a+b=4\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta tìm được $a=1;b=3$

Vậy hàm số cần tìm là $y=x+3$