Vì $ABCD$ là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ nên $OA=OC$, $OB=OD$.

+ $AB$ // $CD$ nên $AM$ // $CN$ suy ra $\widehat{OAM}=\widehat{OCN}$ (hai góc so le trong).

Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OCN$ có:

        $\widehat{O A M} = \widehat{O C N} (chứng minh trên)

        $OA=OC$ (chứng minh trên)

        $\widehat{AOM}=$\widehat{C O N} (hai góc đối đỉnh)

Do đó $\Delta OAM=\Delta OCN$ (g.c.g).

Suy ra $AM=CN$ (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, $AB=CD$ (chứng minh trên);

$AB=AM+BM$; $CD=CN+DN$.

Suy ra $BM=DN$.

Xét tứ giác $MBND$ có:

        $BM$ // $DN$ (vì $AB$ // $CD$)

        $BM=DN$ (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác $MBND$ là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$AB, CF = DF = $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.

a) Qua $D$ vẽ một đường thẳng song song với $BM$ cắt $AC$ tại $N$.

Xét $\Delta MBC$ có $DB=DC$ và $DN$ // $BM$ nên $MN=NC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$ (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác $AM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$, do đó $AM=MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$.

Xét $\Delta AND$ có $AM=MN$ và $BM$ // $DN$ nên $OA=OD$ hay $O$ là trung điểm của $AD$.

b) Xét $\Delta AND$ có $OM$ là đường trung bình nên $OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DN$. (1)

Xét $\Delta MBC$ có $DN$ là đường trung bình nên $DN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BM$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}BM$.

a) Kẻ $MN$ // $BD$, $N\in AC$.

$MN$ là đường trung bình trong $△CBD$

Suy ra $N$ là trung điểm của $CD$ (1).

$IN$ là đường trung bình trong $△AMN$

Suy ra $D$ là trung điểm của $AN$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $AD=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DC$.

b) Có $ID=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MN$; $MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BD$, nên $BD=ID$.