Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành;

b) EF = AD, AF = EC.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh $\Delta$OAM = $\Delta$OCN. Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ nên $OA=OC$, $OB=OD$.

+ $AB$ // $CD$ nên $AM$ // $CN$ suy ra $\widehat{OAM}=\widehat{OCN}$ (hai góc so le trong).

Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OCN$ có:

        $\widehat{O A M} = \widehat{O C N} (chứng minh trên)

        $OA=OC$ (chứng minh trên)

        $\widehat{AOM}=$\widehat{C O N} (hai góc đối đỉnh)

Do đó $\Delta OAM=\Delta OCN$ (g.c.g).

Suy ra $AM=CN$ (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, $AB=CD$ (chứng minh trên);

$AB=AM+BM$; $CD=CN+DN$.

Suy ra $BM=DN$.

Xét tứ giác $MBND$ có:

        $BM$ // $DN$ (vì $AB$ // $CD$)

        $BM=DN$ (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác $MBND$ là hình bình hành.

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành;

b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành.

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$ (giả thiết) nên $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Suy ra $GM=\genfrac{}{}{0ex}{}{GB}{2}$; $GN=\genfrac{}{}{0ex}{}{GC}{2}$ (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà $P$ là trung điểm của $GB$ (giả thiết) nên $GP=PB=\genfrac{}{}{0ex}{}{GB}{2}$ (2)

$Q$ là trung điểm của $GC$ (giả thiết) nên $GQ=QC=\genfrac{}{}{0ex}{}{GC}{2}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $GM=GP$ và $GN=GQ$.

Xét tứ giác $PQMN$ có: $GM=GP$ và $GN=GQ$ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác $PQMN$ có hai đường chéo $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại trung điểm $G$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành.

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng. 

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AD$ // $BC$ và $AD=BC$.

Do $AD$ // $BC$ nên $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$ (so le trong)

Xét $\Delta ADH$ và $\Delta CBK$ có:

     $\widehat{AHD}=\widehat{CKB}=90^{\circ }$;

     $AD=BC$ (chứng minh trên);

     $\widehat{ADH}=\widehat{CBK}$ (do $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$).

Do đó $\Delta ADH=\Delta CBK$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AH=CK$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có $AH\perp DB$ và $CK\perp DB$ nên $AH$ // $CK$.

Tứ giác $AHCK$ có $AH$ // $CK$ và $AH=CK$ nên $AHCK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do $AHCK$ là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo $AC$ và $HK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $I$ là trung điểm của $HK$ (giả thiết) nên $I$ là trung điểm của $AC$.

Do $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $I$ là trung điểm của $AC$ nên $I$ là trung điểm của $BD$, hay $IB=ID$.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$ (giả thiết) nên $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Suy ra $GM=\genfrac{}{}{0ex}{}{GB}{2}$; $GN=\genfrac{}{}{0ex}{}{GC}{2}$ (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà $P$ là trung điểm của $GB$ (giả thiết) nên $GP=PB=\genfrac{}{}{0ex}{}{GB}{2}$ (2)

$Q$ là trung điểm của $GC$ (giả thiết) nên $GQ=QC=\genfrac{}{}{0ex}{}{GC}{2}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $GM=GP$ và $GN=GQ$.

Xét tứ giác $PQMN$ có: $GM=GP$ và $GN=GQ$ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác $PQMN$ có hai đường chéo $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại trung điểm $G$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$ (giả thiết) nên $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Suy ra $GM=\genfrac{}{}{0ex}{}{GB}{2}$; $GN=\genfrac{}{}{0ex}{}{GC}{2}$ (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà $P$ là trung điểm của $GB$ (giả thiết) nên $GP=PB=\genfrac{}{}{0ex}{}{GB}{2}$ (2)

$Q$ là trung điểm của $GC$ (giả thiết) nên $GQ=QC=\genfrac{}{}{0ex}{}{GC}{2}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $GM=GP$ và $GN=GQ$.

Xét tứ giác $PQMN$ có: $GM=GP$ và $GN=GQ$ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác $PQMN$ có hai đường chéo $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại trung điểm $G$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.