a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác ABCABC có hai đường trung tuyến BMBM và CNCN cắt nhau tại GG (giả thiết) nên GG là trọng tâm của ΔABCΔABC.

Suy ra GM=GB2GM= 

2

GB

 ; GN=GC2GN= 

2

GC

  (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà PP là trung điểm của GBGB (giả thiết) nên GP=PB=GB2GP=PB= 

2

GB

  (2)

QQ là trung điểm của GCGC (giả thiết) nên GQ=QC=GC2GQ=QC= 

2

GC

  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM=GPGM=GP và GN=GQGN=GQ.

Xét tứ giác PQMNPQMN có: GM=GPGM=GP và GN=GQGN=GQ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMNPQMN có hai đường chéo MPMP và NQNQ cắt nhau tại trung điểm GG của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCDABCD là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo ACAC và BDBD cắt nhau tại OO nên OA=OCOA=OC, OB=ODOB=OD.

+ ABAB // CDCD nên AMAM // CNCN suy ra OAM^=OCN^ 

OAM

 = 

OCN

  (hai góc so le trong).

Xét ΔOAMΔOAM và Δ OCNΔ OCN có:

        O A M=O C N (chứng minh trên)

        OA=OCOA=OC (chứng minh trên)

        AOM^ = 

AOM

  C O N( hai góc đối đỉnh)

Do đó Δ OAM=Δ OCNΔ OAM=Δ OCN (g.c.g).

Suy ra AM=CNAM=CN (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, AB=CDAB=CD (chứng minh trên);

AB=AM+BMAB=AM+BM; CD=CN+DNCD=CN+DN.

Suy ra BM=DNBM=DN.

Xét tứ giác MBNDMBND có:

        BMBM // DNDN (vì ABAB // CDCD)

        BM=DNBM=DN (chứng minh trên)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = 12 

2

1

 AB, CF = DF = 12 

2

1

 CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = 12 

2

1

 AB, CF = DF = 12 

2

1

 CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.