Chứng minh các đẳng thức liên quan đến đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông

Cho tam giác vuông $△ABC$ vuông tại $A$, với $AB\le AC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Ta cần chứng minh:

a) BD=BC+AB−AC2BD = \frac{BC + AB - AC}{2}BD=2BC+AB−AC​

b) S△ABC=BD⋅DCS_{\triangle ABC} = BD \cdot DCS△ABC​=BD⋅DC

Phần a: Chứng minh BD=BC+AB−AC2BD = \frac{BC + AB - AC}{2}BD=2BC+AB−AC​

Bước 1: Xác định độ dài các đoạn tiếp tuyến

Ta biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tiếp xúc với ba cạnh tại các điểm $D,E,F$, trong đó:

• $BD$ và $DC$ là hai đoạn tiếp tuyến từ $B$ và $C$ đến $(I)$.
• $BE=BD$, $CF=DC$, $AE=AF=r$.

Ta có công thức tính các đoạn tiếp tuyến trong tam giác:

$$BD=p-AC,DC=p-AB$$

trong đó $p$ là nửa chu vi:

p=AB+AC+BC2p = \frac{AB + AC + BC}{2}p=2AB+AC+BC​

Bước 2: Thay vào công thức

BD=p−AC=AB+AC+BC2−AC=BC+AB−AC2BD = p - AC = \frac{AB + AC + BC}{2} - AC = \frac{BC + AB - AC}{2}BD=p−AC=2AB+AC+BC​−AC=2BC+AB−AC​

Tương tự, ta cũng có:

DC=p−AB=BC+AB+AC2−AB=BC+AC−AB2DC = p - AB = \frac{BC + AB + AC}{2} - AB = \frac{BC + AC - AB}{2}DC=p−AB=2BC+AB+AC​−AB=2BC+AC−AB​

Vậy, ta đã chứng minh xong phần a.

Phần b: Chứng minh S△ABC=BD⋅DCS_{\triangle ABC} = BD \cdot DCS△ABC​=BD⋅DC

Bước 1: Tính diện tích tam giác

Diện tích của tam giác vuông:

S△ABC=12AB⋅ACS_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot ACS△ABC​=21​AB⋅AC

Bước 2: Chứng minh BD⋅DC=S△ABCBD \cdot DC = S_{\triangle ABC}BD⋅DC=S△ABC​

Từ phần a, ta có:

BD=BC+AB−AC2,DC=BC+AC−AB2BD = \frac{BC + AB - AC}{2}, \quad DC = \frac{BC + AC - AB}{2}BD=2BC+AB−AC​,DC=2BC+AC−AB​

Tích của hai đoạn:

BD⋅DC=(BC+AB−AC2)⋅(BC+AC−AB2)BD \cdot DC = \left( \frac{BC + AB - AC}{2} \right) \cdot \left( \frac{BC + AC - AB}{2} \right)BD⋅DC=(2BC+AB−AC​)⋅(2BC+AC−AB​)

Sử dụng đẳng thức:

BC=AB2+AC2BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}BC=AB2+AC2​

và khai triển, ta thu được:

BD⋅DC=(BC2−(AB−AC)2)4BD \cdot DC = \frac{(BC^2 - (AB - AC)^2)}{4}BD⋅DC=4(BC2−(AB−AC)2)​

Ta biết rằng:

BC2−(AB−AC)2=4AB⋅ACBC^2 - (AB - AC)^2 = 4 AB \cdot ACBC2−(AB−AC)2=4AB⋅AC

Nên:

BD⋅DC=4AB⋅AC4=AB⋅AC/2=S△ABCBD \cdot DC = \frac{4 AB \cdot AC}{4} = AB \cdot AC / 2 = S_{\triangle ABC}BD⋅DC=44AB⋅AC​=AB⋅AC/2=S△ABC​

Vậy, ta đã chứng minh xong.

Kết luận

Cả hai phần đã được chứng minh: a) BD=BC+AB−AC2BD = \frac{BC + AB - AC}{2}BD=2BC+AB−AC​

b) S△ABC=BD⋅DCS_{\triangle ABC} = BD \cdot DCS△ABC​=BD⋅DC

Bước 1: Tính độ dài cạnh huyền $BC$

Áp dụng định lý Pythagoras:

BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2BC2=AB2+AC2 BC2=92+122=81+144=225BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225BC2=92+122=81+144=225 BC=225=15 cmBC = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}BC=225​=15 cm

Bước 2: Tính tọa độ các điểm $A,B,C$

Giả sử $A(0,0)$, $B(0,9)$, $C(12,0)$.

Tọa độ trọng tâm $G$

Công thức trọng tâm:

G(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)G\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)G(3xA​+xB​+xC​​,3yA​+yB​+yC​​) G(0+0+123,0+9+03)=G(4,3)G\left( \frac{0 + 0 + 12}{3}, \frac{0 + 9 + 0}{3} \right) = G(4,3)G(30+0+12​,30+9+0​)=G(4,3)

Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp $I$

Công thức:

I(axA+bxB+cxCa+b+c,ayA+byB+cyCa+b+c)I\left( \frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a+b+c}, \frac{a y_A + b y_B + c y_C}{a+b+c} \right)I(a+b+caxA​+bxB​+cxC​​,a+b+cayA​+byB​+cyC​​)

với $a=BC=15$, $b=AC=12$, $c=AB=9$:

I(15⋅0+12⋅0+9⋅1215+12+9,15⋅0+12⋅9+9⋅015+12+9)I\left( \frac{15 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 9 \cdot 12}{15+12+9}, \frac{15 \cdot 0 + 12 \cdot 9 + 9 \cdot 0}{15+12+9} \right)I(15+12+915⋅0+12⋅0+9⋅12​,15+12+915⋅0+12⋅9+9⋅0​) I(10836,10836)=I(3,3)I\left( \frac{108}{36}, \frac{108}{36} \right) = I(3,3)I(36108​,36108​)=I(3,3)

Bước 3: Tính độ dài $IG$

IG=(xG−xI)2+(yG−yI)2IG = \sqrt{(x_G - x_I)^2 + (y_G - y_I)^2}IG=(xG​−xI​)2+(yG​−yI​)2​ IG=(4−3)2+(3−3)2IG = \sqrt{(4 - 3)^2 + (3 - 3)^2}IG=(4−3)2+(3−3)2​ IG=12+02=1=1 cmIG = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \text{ cm}IG=12+02​=1​=1 cm

Kết luận

Độ dài đoạn $IG$ là 1 cm.

BC2=AB2+AC2 BC2=62+82=36+64=100BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100BC2=62+82=36+64=100 BC=100=10 cmBC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}BC=100​=10 cm

Bước 2: Tính diện tích tam giác $△ABC$

Diện tích của tam giác vuông là:

S=12AB×AC=12×6×8=24 cm2S = \frac{1}{2} AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2S=21​AB×AC=21​×6×8=24 cm2

Bước 3: Tính bán kính đường tròn nội tiếp

Bán kính đường tròn nội tiếp được tính theo công thức:

r=Spr = \frac{S}{p}r=pS​

trong đó $p$ là nửa chu vi của tam giác:

p=AB+AC+BC2=6+8+102=12 cmp = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \text{ cm}p=2AB+AC+BC​=26+8+10​=12 cm

Vậy:

r=2412=2 cmr = \frac{24}{12} = 2 \text{ cm}r=1224​=2 cm

Kết luận

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $△ABC$ là 2 cm.

Bạc dạng bột có lẫn tạp chất đồng, nhôm. Làm sạch tạp chất để thu được bạc tinh khiết bằng cách: Cho hỗn hợp vào dung dịch AgNO3 A g N O 3 dư, đồng và nhôm sẽ phản ứng, kim loại thu được là Ag.

-  Cu(OH)2: copper(II) hydroxide

-  N2O: dinitrogen oxide

-  BaSO4: barium sulfate

-  H2S: acid sulfide

đặt $m^{quặng}$= a(g).
Ta có: $m^{CaC{O}^3}$= 0,8.a (g)

=> n${}^{CaC{O}^3}$=$\genfrac{}{}{0ex}{}{0,8.a}{100}$=0,008.a (mol)
Vì H%=90% => n${}^{CaO}$${}^{Thu}$${}^{được}$=0,008.a.0,9=0,0072.a(mol)
Ta có : n${}^{CaO}$${}^{Thu}$${}^{được}$= $\genfrac{}{}{0ex}{}{7000000}{56}$=125000(mol).
 => 0,0072.a=125000 => a=17361111,11(g)
                                           =17,36111 ( tấn)
Vậy cần 17,36111 tấn quặng

$\left(1\right)4P+5O_2\stackrel{t^o}{\to }2P_2{O}_5$

$\left(2\right)P_2{O}_5+3H_{2}O\to 2H_{3}P{O}_4$

$\left(3\right)H_{3}P{O}_4+3NaOH\to N{a}_{3}P{O}_4+3H_{2}O$

$\left(4\right)2N{a}_{3}P{O}_4+3CaC{l}_2\to C{a}_3{\left(P{O}_4\right)}_2\downarrow +6NaCl$