✅ Bước 1: Xét hạng tử đầu tiên

Từ giả thiết \(z \geq y \geq x \geq 0\), ta có:

• \(x \geq 0\)
• \(x - y \leq 0\)
• \(x - z \leq 0\)
  → Tích \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0\) vì là tích của hai số không dương.

Do đó:

\(& x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0 & & (\text{1})\)

➡️ Đây là hạng tử đầu tiên của biểu thức — được chứng minh là không âm.

✅ Bước 2: Xét hai hạng tử còn lại cùng nhau

Biểu thức còn lại là:

\(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right)\)

Nhận xét:

• \(z - y \geq 0\) là một nhân tử chung, nên có thể rút nhân tử để phân tích:

\(& y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) = \left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right. & & (\text{3})\)

➡️ Đây là một kỹ thuật nhóm hạng tử thông minh bằng cách tìm nhân tử chung để đơn giản hóa.

✅ Bước 3: Phân tích dấu biểu thức trong ngoặc

Ta cần chứng minh:

\(\left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right. \geq 0\)

Biết rằng:

• \(z - y \geq 0\)
• Cần chứng minh: \(z \left(\right. z - x \left.\right) \geq y \left(\right. y - x \left.\right)\)

Do \(z \geq y\) và \(z - x \geq y - x\), mà tất cả số hạng đều không âm, nên:

\(& z \left(\right. z - x \left.\right) \geq y \left(\right. y - x \left.\right) \Rightarrow z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \geq 0 & & (\text{4})\)

➡️ Như vậy:

\(& \left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right. \geq 0 & & (\text{5})\)

✅ Bước 4: Kết luận

Từ:

• (1): \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0\)
• (5): \(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\)

Suy ra:

\(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) + y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\)