Xét tam giác ABC có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà BM=1/2AC suy ra tam giác ABC vuông tại B.

Tứ giác ABCD có góc A=góc D=góc B=90độ.

Suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Ta có IA=IC và IH=ID.

Suy ra AHCD là hình bình hành do có 2đường chéo AC và DH cắt nhau tại trung điểm I.

Mà góc AHC=90độ suy ra AHCD là hình chữ nhật.

a,Do ABCD là hình bình hành nên AD//BC và AD=BC.

Do AD//BC nên góc ADB=góc CBD(SLT)

Xét tam giác ADH và tam giác CBK có:

Góc AHD=góc CKB=90 độ;

AD=BC(cmt);

Góc ADH=góc CBK(do góc ADB= góc CBD).

Do đó tam giác ADH=tam giác CBK(cạnh huyền-góc nhọn).

Suy ra AH=CK(2cạnh tương ứng).

Ta có AH vuông góc với DB và CK vuông góc với DB nên AH//CK.

Tứ giác AHCK có AH//CK và AH=CK nên AHCK là hình bình hành(dhnb).

b,Do AHCK là hình hình hành(câu a) nên 2 đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK(gt) nên I là trung điểm của AC.

Do ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD thay IB=ID.

a,ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD//BC mà E là trung điểm của AD nên AE=ED;

F là trung điểm của BC nên BF=FC.

Suy ra DE=BF.

Xét tứ giác EBFD có DE//BF(do AD//BC)và DE=BF nên là hình bình hành(dhnb).

b,Ta có O là giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên 2 đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy 3 điểm E,O,F thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G(gt)nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra GM=GB/2;GN=GC/2(tính chất trọng tâm của tam giác)(1)

Mà P trung điểm của GB(gt)nên GP=PB=GB/2(2)

Q là trung điểm của GC(gt)nên GQ=QC=GC/2(3)

Từ (1)và (2)và (3)suy ra GM=GP và GN=GQ.

Xét tứ giác PQMN có:GM=GP và GN=GQ(cmt)

Do đó tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

a,Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD;AB//CD.Mà 2 điểm B,C lần lượt là trung điểm AE,DF.

Suy ra AE=DF;AB=BE=CD=CF.

Tứ giác AEFD có AE//DF(vì AB//CD);AE=DF(chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB//CD(vì AB//CD);AB=CF(chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b,Vì hình bình hành AEFD có 2 đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có 2 đường chéo AF và BC.Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của 3 đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

+ 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA=OC,OB=OD.

+ AB//CD nên AM//CN suy ra góc OAM=OCN(2 góc SLT).

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

Góc OAM=OCN(chứng minh trên)

OA=OC(chứng minh trên)

Góc AOM=góc CON(2 góc đối đỉnh)

Do đó tam giác OAM=tam giác OCN(g.c.g).

Suy ra AM=CN(2cạnh tương ứng).

Mặt khác,AB=CD(chứng minh trên)

AB=AM+BM;CD=CN+DN.

Suy ra BM=DN.

Xét tứ giác MBND có:

BM//DN(vì AB//CD)

BM=DN(chứng minh trên)

Do đó,tứ giác MBND là hình bình hành.

a,Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD,AB//CD.MàE,F lần lượt là trung điểm của AB,CD nên AE=BE=1/2AB,CF=DF=1/2CD.

Do đó AE=BE=CF=DF.

Xét tứ giác AEFD có:

AE//DF(vì AB//CD)

AE=DF(chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

AE//CF(vì AB//CD)

AE=CF(chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy 2 tứ giác AEFD,AECF là những hình bình hành.

b,Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF=AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF=EC.

Vậy EF=AD,AF=EC