a,Ta có AD=BC suy ra AD/2=BC/2 nên MC=ND và MC//ND do đó,MCDN là hbh.Lại có CD=AB=AD/2=ND nên MCDN là hình thoi.

b,BM//AD suy ra ABMD là hình thang.Mà góc ADC=120 độ mà DM là pg góc ADC nên góc ADM=60 độ= góc BAD.Vậy ABMD là htc.

c,Tam giác KAD có góc KAD=góc KDA nên là tam giác cân.Xét tam giác MBK và tam giác MCD có:góc B1=góc C(SLT);MB=MC(gt);góc M1=góc M2(đđ).Vậy tam giác MBK=tam giác MCD(g.c.g) suy ra MK=MD(2 cạnh tương ứng).Khi đó AM là đường trung tuyến và BK=CD(2 cạnh tương ứng).Mà CD=AB suy ra AB=BK hay DB là đường trung tuyến.Khi đó,tam giác KAD có 3 đường trung tuyến AM,BD,KN đồng quy.

a,Ta có góc O1+ góc O3=90 độ và góc O2+ góc O3=90 suy ra góc O1= góc O2.Mặt khác góc A1= góc B1=45 độ.Xét tam giác AOP và tam giác BOR có OA=OB(gt);góc A1= góc B1=45 độ;góc O1= góc O2(cmt).Suy ra tam giác AOP= tam giác BOR(g.c.g)

b,Từ tam giác AOP=tam giác BOR suy ra OP=OR(2 cạnh tương ứng).CM tương tự cho tam giác OBR=tam giác OCQ và tam giác OCQ=tam giác ODS suy ra OR=OQ và OQ=OS.Khi đó OP=OR=OS=OQ.

c,Tứ giác PRQS là hình thoi vì có 4 cạnh bằng nhau.Mà tam giác OPR có OP=OR và góc POR=90 độ nên tam giác OPR là tam giác vuông cân tại O suy ra góc P1=45 độ.Tương tự góc P2=45 độ nên góc RPS=góc P1+góc P2=90 độ.Hình thoi PRQS có góc RPS=90 độ nên nó là hình vuông.

a,Ta có:Ax vuông góc với AC và By//AC.Suy ra Ax vuông góc với By.Suy ra góc AMB=90 độ.Xét tam giác MAQ và tam giác QBM có góc MQA=góc BMQ(SLT);MQ là cạnh chung;góc AMQ=góc BQM(Ax//QB).Suy ra tam giác MAQ=tam giác QBM(g-c-g).Suy ra góc MBQ=góc MAQ=90 độ (2 góc tương ứng).Xét tứ giác AMBQ có:góc QAM=góc AMB=góc MBQ=90 độ.Suy ra tứ giác AMBQ là hình chữ nhật.

b,Do tứ giác AMBQ là hình chữ nhật.Mà P là trung điểm AB nên PQ=1/2AB(1).Xét tam giác AIB vuông tại I và có IP là đường trung tuyến.Suy ra IP=1/2AB(2).Từ (1) và (2) suy ra QP=IP suy ra tam giác PQI cân taih P.

Xét tam giác ABC có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà BM=1/2AC suy ra tam giác ABC vuông tại B.Tứ giác ABCD có góc A=góc D=góc B=90 độ.Suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Ta có IA=IC và IH=ID.Suy ra AHCD là hình bình hành do có 2 đường chéo AC và DH cắt nhau tại trung điểm I.Mà Góc AHC=90 độ suy ra AHCD là hình chữ nhật.

a,Do ABCD là hình bình hành nên AD//BC và AD=BC.Do AD//BC nên góc ADB=góc CBD(SLT).Xét tam giác ADH và tan giác CBK có: góc AHD=góc CKB=90 độ;AD=BC(cmt);góc DH=hóc CBK( do góc ADB=góc CBD).Do đó tam giác ADH=tam giác CBK(c.h-g.n).Suy ra AH=CK(2cạnh tương ứng).Ta có AH vuông góc với DB và CK vuông góc với DB nên AH//CK.Tứ giác AHCK có AH//CK và AH=CK nên AHCK là hình bình hành(dhnb).

b,Do AHCK là hình bình hành(câu a) nên 2 đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm cảu mỗi đường.Mà I là trung điểm của HK(gt) nên I là trung điểm của AC.Do ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD hay IB=ID.

a,ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD//BC.Mà E là trung điểm của AD nên AE=ED;F là trung điểm của BC nên BF=FC.Suy ra DE=BF.Xét tứ giác EBFD có DE//BF(do AD//BC) và DE=BF nên slaf hình bình hành(dhnb).

b,Ta có O là giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành ABCD nên O làtrung điểm của BD.do EBFD là hình bình hành nên 2 đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.Vậy 3 điểm E,O,F thẳng hàng.

a,Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD;AB//CD.Mà 2 điểm B,C lần lượt là trung điểm AE,DF.Suy ra AE=DF;AB=BE=CD=CF.Tứ giác AEFD có AE//DF(vì AB//CD);AE=DF(cmt).Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.Tứ giác ABFC có AB//FC(vì AB//CD);AB=CF(cmt).Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b,Vì hình bình hành AEFD có 2 đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung diểm của mỗi đường,ta gọi giao điểm đó là O.Hình bình hành AEFD có 2 đường chéo AF và BC.Mà O là trung điểm của AF.Suy ra O cũng là trung điểm của BC.Vậy các trung điểm của 3 đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau.

Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G(gt) nên G là trọng tâm của tam giác ANC.Suy ra GM=GB/2;GN=GC/2(tính chất trọng tâm của tam giác)(1).Mà P là trung điểm của GB(gt) nên GP=PB=GB/2(2).Q là trung điểm của GC(gt) nên GQ=QC=GC/2(3).Từ(1) và (2) và (3)suy ra GM=GP và GN=GQ.Xét tứ giác PQMN có:GM=GP và GN=GQ(cmt).Do đó tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:+,2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA=OC,OB=OD.+,AB//CD nên AM//CD suy ra góc OAM=OCN(2 góc SLT).Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:góc OAM=Góc OCN(cmt);OA=OC(cmt);góc AOM=góc CON(2 góc đối đỉnh).Do đó tam giác OAM=tam giác OCN(g.c.g).Suy ra AM=CN(2 cạnh tương ứng).Mặt khác,AB=CD(cmt).AB=AM+BM;CD=CN+DN.Suy ra BM=DN.Xét tứ giác MBND có:BM//DN(vì AB//CD);BM=DN(cmt).Do đó,tứ giác MBND là hình bình hành.