Xét ΔABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G(gt)

nên G là trọng tâm của tam giác ANC

Suy ra GM=GB/2

GN=GC/2(tính chất trọng tâm của tam giác)(1)

Mà P là trung điểm của GB(gt)

nên GP=PB=GB/2(2)

Q là trung điểm của GC(gt)

nên GQ=QC=GC/2(3)

Từ(1) và (2) và (3)

=> GM=GP và GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có

GM=GP và GN=GQ(cmt)

Do đó tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

a,Vì ABCD là hình bình hành

nên AB=CD;AB//CD

Mà 2 điểm B,C lần lượt là trung điểm AE,DF

=> AE=DF;AB=BE=CD=CF

Tứ giác AEFD có AE//DF(vì AB//CD)

AE=DF(cmt)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Tứ giác ABFC có AB//FC(vì AB//CD);AB=CF(cmt)

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b,Vì hình bình hành AEFD có 2 đường chéo AF và DE

nên chúng cắt nhau tại trung diểm của mỗi đường

ta gọi giao điểm đó là O

Hình bình hành AEFD có 2 đường chéo AF và BC

Mà O là trung điểm của AF

=.O cũng là trung điểm của BC

Vậy các trung điểm của 3 đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau.

 Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

+2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

 nên OA=OC,OB=OD.

+,AB//CD nên AM//CD

 =>góc OAM=OCN(2 góc SLT).

Xét Δ OAM và Δ OCN có

góc OAM=Góc OCN(cmt)

OA=OC(cmt)

góc AOM=góc CON(2 góc đối đỉnh).

Do đó Δ OAM=Δ OCN(g.c.g)

=>AM=CN(2 cạnh tương ứng)

Mặt khác,AB=CD(cmt)

AB=AM+BM;CD=CN+DN

=> BM=DN.

Xét tứ giác MBND có

BM//DN(vì AB//CD)

BM=DN(cmt)

Do đó,tứ giác MBND là hình bình hành.

a,Vì ABCD là hình bình hành

nên AB=CD,AB//CD.

Mà E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD

nên AE=BE=½AB

       CF=DF=½CD

Do đó AE=BE=CF=DF

Xét tứ giác AEFB có:AE//DF(vì AB//CD)

AE=DF(cmt)

.Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có:AE//CF(vì AB//CD);AE=CF(cmt)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành

Vậy 2 tứ giác AEFD,AECF là những hình hình hành.

b,Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF=AD

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF=EC

=> EF=AD,AF=EC.

a,Ta có:Ax vuông góc với AC và By//AC.

=>Ax vuông góc với By

=> góc AMB=90^o

Xét Δ MAQ và Δ QBM

có góc MQA=góc BMQ(SLT)

MQ là cạnh chung

góc AMQ=góc BQM(Ax//QB).

=>Δ MAQ=tam ΔQBM (g-c-g)

=> góc MBQ=góc MAQ=90° (2 góc tương ứng).

Xét tứ giác AMBQ có:

góc QAM=góc AMB=góc MBQ=90°

Suy ra tứ giác AMBQ là hình chữ nhật.

b,Do tứ giác AMBQ là hình chữ nhật

Mà P là trung điểm AB nên PQ=½AB(1)

Xét ΔAIB vuông tại I và có IP là đường trung tuyến

=>IP=½AB(2)

Từ (1) và (2)

=>QP=IP

=>Δ PQI cân tại P.

Xét tam giác ABC có:

BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC

mà BM=½AC

=> Δ ABC vuông tại B.

Tứ giác ABCD có

góc A=góc D=góc B=90 độ.

=> tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: IA=IC và IH=ID

=> AHCD là hình bình hành (do có 2 đường chéo AC và DH cắt nhau tại trung điểm I)

Mà Góc AHC=90^o 

=> AHCD là hình chữ nhật.