a,Ta có góc O1+góc O3=90độ và góc  O2+góc O3=90độ suy ra góc O1=góc O2.

Mặt khác góc A1=góc B1=45độ.

Xét tam giác AOP và tam giác BOR có:góc A1=góc B1=45độ

OA=OB(gt);góc O1=góc O2(cmt)

Suy ra tam giác AOP=tam giác BOR(g.c.g)

b,Từ tam giác AOP=tam giác BOR suy ra OP=OR(2 cạnh tương ứng)

Cm tương tự cho tam giác OBR=tam giác OCQ và tam giác OCQ=tam giác ODS

Suy ra OR=OQ và OQ=OS.

Khi đó OP=OR=OS=OQ.

c,Tứ giác PRQS là hình thoi vì có 4 cạnh bằng nhau.

Mà tam giác OPR có OP=OR và góc POR=90 độ nên tam giác OPR là tam giác vuông cân tại O

Suy ra góc P1=45 độ.

Tương tự góc P2=45 độ nên góc RPS=góc P1+góc P2=90 độ.

Hình thoi PRQS có góc RPS=90 độ nên nó là hình vuông.

$\hat{}$

Tứ giác OBAC có3góc vuông góc B= góc C=góc BOC=90độ

Nên OBAC là hình chữ nhật.

Mà A nằm trên tia phân giác OM suy ra AB=AC.

Khi đó OBAC là hình vuông.

a,Tứ giác AEDF có góc EAF=góc AED=góc AFD=90độ nên là hình chữ nhật.

Tam giác ABC vuông cân tại A có AM là trung tuyến nên AM cũng là đường phân giác góc EAF.

Hình chữ nhật AEDF có đường chéo AD là tia phân giác góc EAF nên là hình vuông.

b,Tan giác AEF vuông tại A có AE=AF nên vuông cân tại A

Suy ra góc F1=45 độ=góc C nà góc F1,góc C đồng vị nên EF//BC.

c,Gọi O là giao của AD với EF suy ra OE=OD=OF=OA

Tam giác ENF vuông tại N có NO là đường trung tuyến nên NO=EO=FO

Tam giác AND có NO là đường trung tuyến mà NO=AD/2 suy ra tam giác AND vuông tại N.

a,Tứ giác AEDF có góc EAF=góc AED=góc AFD=90độ nên là hình chữ nhật.

Tam giác ABC vuông cân tại A có AM là trung tuyến nên AM cũng là đường phân giác góc EAF.

Hình chữ nhật AEDF có đường chéo AD là tia phân giác góc EAF nên là hình vuông.

b,Tan giác AEF vuông tại A có AE=AF nên vuông cân tại A

Suy ra góc F1=45 độ=góc C nà góc F1,góc C đồng vị nên EF//BC.

c,Gọi O là giao của AD với EF suy ra OE=OD=OF=OA

Tam giác ENF vuông tại N có NO là đường trung tuyến nên NO=EO=FO

Tam giác AND có NO là đường trung tuyến mà NO=AD/2 suy ra tam giác AND vuông tại N.

a,Tứ giác ADME có góc DAE=góc D=góc E=90 độ nên ADME là hình chữ nhật.

b,Vì DM vuông góc với AB và AC vuông góc AB nên DM//AC suy ra góc C=góc BMD(SLT).

Xét tam giác DMB và tam giác ECM có:góc D=góc E=90 độ

BM=CM(gt);góc DMB=góc C(SLT)

Vậy tam giác DMB=tam giác ECM(ch-gn)

Suy ra ME=BD(2 cạnh tương ứng)mà ME=AD nên AD=BD.

Tứ giác AMBI có 2 đường chéo AB,MI cắt nhau tại D là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà MI vuông góc với AB suy ra AMBI là hình thoi.

c,Để AMBI là hình vuông thì AM vuông góc với BM hay AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác ABC vuông cân tại A.

d,Giả sử AM cắt PQ tại F và PQ cắt AH tại O.

Khi đó tam giác OAQ có OA=OQ nên tam giác OAQ cân tại O suy ra góc Q1=góc OAQ

Tam giác AMC cân tại M suy ra góc A1=góc C

Do đó,góc A1+góc Q1=góc C+góc OAQ=90 độ

Suy ra tam giác FAQ vuông tại F hay AM vuông góc với PQ.

a,Ta có AD=BC suy ra AD/2=BC/2 nên MC=ND và MC//ND

Do đó,MCDN là hình bình hành.

Lại có CD=AB=AD/2=ND nên MCDN là hình thoi

b,BM//AD suy ra ABMD là hình thang.

Mà góc ADC=120 độ mà DM là phân giác góc ADC nên góc ADM=60 độ=góc BAD.

Vậy ABMD là hình thang cân.

c,Tam giác KAD có góc KAD=góc KDA nên là tam giác cân.

Xét tam giác MBK và tam giác MCD có:góc M1=góc M2(đđ)

MB=MC(gt);góc B1=góc C(SLT)

Vậy tam giác MBK=tam giác MCD(g.c.g) suy ra MK=MD(2 cạnh tương ứng).

Khi đó AM là đường trung tuyến và BK=CD(2 cạnh tương ứng)

Mà CD=AB suy ra AB=BK hay DB là đường trung tuyến.

Khi đó,tam giác KAD có 3 đường trung tuyến AM,BD,KN đồng quy.

a,Do ABCD là hình bình hành nên AD//BC và AD=BC

Do AD//BC nên góc ADB=góc CBD(SLT)

Xét Δ ADH và Δ CBK có:

góc AHD=góc CKB=90°

AD=BC(cmt)

góc DH=hóc CBK( do góc ADB=góc CBD)

Do đó Δ ADH=Δ CBK(c.h-g.n)

=> AH=CK(2cạnh tương ứng)

Ta có AH vuông góc với DB và CK vuông góc với DB

nên AH//CK

Tứ giác AHCK có AH//CK và AH=CK

nên AHCK là hình bình hành(1)

b,Do AHCK là hình bình hành[theo cm (1) ]

nên 2 đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm cảu mỗi đường

Mà I là trung điểm của HK(gt)

nên I là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD hay IB=ID

a,ABCD là hình bình hành

nên AD=BC và AD//BC

Mà E là trung điểm của AD

nên AE=ED

F là trung điểm của BC

nên BF=FC

=> DE=BF

Xét tứ giác EBFD có DE//BF(do AD//BC) và DE=BF

nêntứ giác EBFD là hình bình hành

b,Ta có O là giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành ABCD

nên O là trung điểm của BD

do EBFD là hình bình hành

nên 2 đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của BD

nên O là trung điểm của EF

Vậy 3 điểm E,O,F thẳng hàng.