Vũ Văn Nguyên
Giới thiệu về bản thân
a) Do
A
B
C
D
ABCD là hình bình hành nên
A
D
AD //
B
C
BC và
A
D
=
B
C
AD=BC.
Do
A
D
AD //
B
C
BC nên
A
D
B
^
=
C
B
D
^
ADB
=
CBD
(so le trong)
Xét
Δ
A
D
H
ΔADH và
Δ
C
B
K
ΔCBK có:
A
H
D
^
=
C
K
B
^
=
9
0
∘
AHD
=
CKB
=90
∘
;
A
D
=
B
C
AD=BC (chứng minh trên);
A
D
H
^
=
C
B
K
^
ADH
=
CBK
(do
A
D
B
^
=
C
B
D
^
ADB
=
CBD
).
Do đó
Δ
A
D
H
=
Δ
C
B
K
Δ ADH=Δ CBK (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra
A
H
=
C
K
AH=CK (hai cạnh tương ứng).
Ta có
A
H
⊥
D
B
AH⊥ DB và
C
K
⊥
D
B
CK⊥ DB nên
A
H
AH //
C
K
CK.
Tứ giác
A
H
C
K
AHCK có
A
H
AH //
C
K
CK và
A
H
=
C
K
AH=CK nên
A
H
C
K
AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
b) Do
A
H
C
K
AHCK là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo
A
C
AC và
H
K
HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà
I
I là trung điểm của
H
K
HK (giả thiết) nên
I
I là trung điểm của
A
C
AC.
Do
A
B
C
D
ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo
A
C
AC và
B
D
BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà
I
I là trung điểm của
A
C
AC nên
I
I là trung điểm của
B
D
BD, hay
I
B
=
I
D
IB=ID.
a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.
Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;
F là trung điểm của BC nên BF = FC.
Suy ra DE = BF.
Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.
Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.
Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Xét tam ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của ∆ABC
Suy ra GM =GB
2 GN=GC
2 (tính chất trọng tâm của tam giác ) (1)
a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.
Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.
Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF
Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).
Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.
Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên)
Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.
b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.
Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC
Mà O là trung điểm của AF.
Suy ra O cũng là trung điểm của BC.
Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.
a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.
Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.
Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.
Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).
Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.
Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).
Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.
b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.
Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC
Mà O là trung điểm của AF.
Suy ra O cũng là trung điểm của BC.
Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.
a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.
⇒ AEFD là hình bình hành.
Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành
b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.
Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.
Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng min
ΔOCN. Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.
Do ABCD là hình bình hành nên AB//CD AB=CD từ đó AE//CF AE=EB=DF=FC
Tương tự tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và =nhau vì AEFD là hình bình hành nên AD=EF
Vì AECF là hình bình hành nên AF=EC