Vì ABCID là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo AC và BID cắt nhau tại O nên

OA = OC,OB = OD.

+ AB I|CD nên AM II CN

suy ra OAM = OCN (hai góc so le trong).

Xét AO AM và A OCN có:

O A M = O C N (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

AOM = C O N3 (hai góc đối đỉnh)

Do đó A OAM = A OCN (g.c.g)

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên)

AB = AM + BM;CD = CN + DN.          

Hình bình hành

O A M = O C N (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

AOM = C O N (hai góc đối đỉnh)

Do đó A OAM = A OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, A.B = CD (chứng minh trên);

AB = AM + BM;CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBN D có:

BM II DN (vì AB I CD)

BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBN D là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE =

1/2 AB ; CF = DF =1/2CD

Z AB, CF = DF = 2CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF (vì AB // CD);

AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

AE // CF (vì AB // CD);

AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.