Hoang My
Giới thiệu về bản thân
Đặt B=1⋅4⋅7⋅10⋅...⋅58
Vì trong dãy số B, quy luật sẽ là kể từ số thứ 2 thì số sau bằng số trước thêm 3 đơn vị nên
B=1⋅4⋅7⋅10⋅13⋅...⋅58
⇔B⋮13⋅58
⇔B⋮13⋅29
hay B⋮377
Đặt C=3⋅12⋅21⋅30⋅...⋅174
Vì trong dãy số C có quy luật là các số chia 9 dư 3 nên B=3⋅12⋅21⋅30⋅39⋅...⋅174
⇔C=3⋅12⋅21⋅30⋅3⋅13⋅...⋅29⋅6
⇔C⋮13⋅29
⇔C⋮377
Ta có: A=1⋅4⋅7⋅10⋅...⋅58+3⋅12⋅21⋅30⋅...⋅174
⇔A=B+C
mà B⋮377
và C⋮377C
nên A⋮377
Gọi là phân số lớn nhất cần tìm.
Ta có:
(2)
(3)
Mà lớn nhất.
⇒⇒
Vậy phân số cần tìm là: =588.
Đặt d ∈ ƯC(3n+4 ; 5n +1)
Ta có:
3n + 4 chia hết cho d và 5n + 1 chia hết cho d nên 5.(3n + 4) chia hết cho d và 3.(5n + 1) chia hết cho d.
⇒ (15n + 20) - (15n + 3) = 15n + 20 - 15n - 3 = (15n - 15n) + (20 - 3) = 17 chia hết cho d.
Vì n ∈ N suy ra d ∈ {1 ; 17}
Để ƯC(3n+4 ; 5n+1) ≠ 1 thì phải có 3n + 4 chia hết cho 17 suy ra 3n + 4 - 34 = 3n + (-30) = 3n - 30 = 3n - 3.10 = 3.(n - 10) chia hết cho 17 (vì 34 cũng chia hết cho 17).
Ta lại có ƯCLN(3 ; 17) = 1 nên n - 10 chia hết cho 17.
⇒ n - 10 ∈ B(17)
Do n < 30 nên n = 10 hoặc n = 27.
Vậy n ∈ {10 ; 17}
Giả sử
(3n + 4 và 5n + 1) = k # 1
=> (3n + 4 và 5n + 1 - 3n - 4) = (3n + 4 và 2n - 3) = k
=> (2n - 3 và 3n + 4 - 2n + 3) = (2n - 3 và n + 7) = k
=> (n + 7 và 2n - 3 - n - 7) = (n + 7 và n - 10) = k
=> (n + và n + 7 - n + 10) = (n + 7 và 17) = k
=> k =17
Suy ra 3n + 4 = 17p
=> n = (17p - 4)/3 = 5p - 1 + (2p - 1)/3
Chọn p sao cho 2p - 1 chia hết cho 3 và n < 30
=> p = 2 và p = 5
=> n = 10 và n = 27
Lúc đó 2 số 3n+ 4 và 5n + 1 có ước số chung là 17