Δ
A
B
C
Δ
𝐴
𝐵
𝐶
 có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm của tam giác.

⇒
B
G
=
2
3
B
M
;
G
M
=
1
3
B
M
(
1
)
⇒
𝐵
𝐺
=
2
3
𝐵
𝑀
;
𝐺
𝑀
=
1
3
𝐵
𝑀
(
1
)
Mà: 
P
G
=
1
2
B
G
=
1
2
.
2
3
B
M
=
1
3
B
M
(
2
)
𝑃
𝐺
=
1
2
𝐵
𝐺
=
1
2
.
2
3
𝐵
𝑀
=
1
3
𝐵
𝑀
(
2
)
Từ (1), (2) suy ra GM = PG

Chứng minh tương tự ta cũng có QG = GN

Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành
Xem thêm tại: https://loigiaihay.com/bai-tap-191447.html

a) Vì 
A
B
C
D
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
 là hình bình hành (gt)

Suy ra 
A
D
=
B
C
𝐴
𝐷
=
𝐵
𝐶
; 
A
D
𝐴
𝐷
 // 
B
C
𝐵
𝐶

Mà 
E
𝐸
, 
F
𝐹
 là trung điểm của 
A
D
𝐴
𝐷
, 
B
C
𝐵
𝐶
 (gt)

Suy ra 
A
E
=
E
D
=
B
F
=
F
C
𝐴
𝐸
=
𝐸
𝐷
=
𝐵
𝐹
=
𝐹
𝐶

Xét tứ giác 
E
B
F
D
𝐸
𝐵
𝐹
𝐷
 ta có:

E
D
=
F
B
𝐸
𝐷
=
𝐹
𝐵
 (cmt)

E
D
𝐸
𝐷
 // 
B
F
𝐵
𝐹
 (do 
A
D
𝐴
𝐷
 // 
B
C
𝐵
𝐶
)

Suy ra 
E
D
F
B
𝐸
𝐷
𝐹
𝐵
 là hình bình hành

b) Vì 
A
B
C
D
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
 là hình bình hành (gt)

Suy ra 
O
𝑂
 là trung điểm của 
A
C
𝐴
𝐶
 và 
B
D
𝐵
𝐷

Mà 
D
E
B
F
𝐷
𝐸
𝐵
𝐹
 là hình bình hành (gt)

Suy ra 
O
𝑂
 cũng là trung điểm của 
E
F
𝐸
𝐹

Suy ra 
E
𝐸
, 
O
𝑂
, 
F
𝐹
 thẳng hàng
Xem thêm tại: https://loigiaihay.com/bai-tap-190357.html

 a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD, từ đó AE // CF, AE = EB = DF = FC.

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF.

Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC.

ABCD là hình bình hành nên AO = CO, BO = DO.

Xét ∆OAM và ∆OCN có: 
 (hai góc so le trong), 
 (hai góc đối đỉnh), AO = CO nên ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra OM = ON.

Ta có OM = ON, BO = DO nên tứ giác MBND có hai đường chéo MN, BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên MBND là hình bình hành.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

a) Do ABCD là hình bình hành

⇒
A
D
=
B
C
 và 
A
D
 // 
B
C

Do 
A
D
 // 
B
C
 (cmt)

⇒
ˆ
A
D
H
=
ˆ
C
B
K
 (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: 
Δ
A
D
H
 và 
Δ
C
B
K
 có:

A
D
=
B
C
 (cmt)

ˆ
A
D
H
=
ˆ
C
B
K
 (cmt)

⇒
Δ
A
D
H
=
Δ
C
B
K
 (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒
A
H
=
C
K
 (hai cạnh tương ứng)

Do 
A
H
⊥
B
D
 (gt)

C
K
⊥
B
D
 (gt)

⇒
A
H
 // 
C
K

Xét tứ giác AHCK có:

A
H
 // 
C
K
 (cmt)

A
H
=
C
K
 (cmt)

⇒
A
H
C
K
 là hình bình hành

b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)

I
 là trung điểm của HK (gt)

⇒
I
 là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành (gt)

I
 là trung điểm của AC (cmt)

⇒
I
 là trung điểm của BD

⇒
I
B
=
I
D