a) Do ABCDABCD là hình bình hành nên ADAD // BCBC và AD=BCAD=BC.

Do ADAD // BCBC nên góc ADB= góc CBD ADB^ =CBD^
  =
  (so le trong)

Xét ΔADHΔADH và ΔCBKΔCBK có:

    gócADH =  gócCKB = AHD^ =CKB^=90∘
 90

     AD=BCAD=BC (chứng minh trên);

 góc ADH=góc CBK(do góc ADB=góc  CBD)

Do đó Δ ADH=Δ CBKΔ ADH=Δ CBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH=CKAH=CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH⊥ DBAH⊥ DB và CK⊥ DBCK⊥ DB nên AHAH // CKCK.

Tứ giác AHCKAHCK có AHAH // CKCK và AH=CKAH=CK nên AHCKAHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do AHCKAHCK là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo ACAC và HKHK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà II là trung điểm của HKHK (giả thiết) nên II là trung điểm của ACAC.

Do ABCDABCD là hình bình hành nên hai đường chéo ACAC và BDBD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà II là trung điểm của ACAC nên II là trung điểm của BDBD, hay IB=IDIB=ID.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Vì ABCDABCD là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo ACAC và BDBD cắt nhau tại OO nên OA=OCOA=OC, OB=ODOB=OD.

+ ABAB // CDCD nên AMAM // CNCN suy ra góc OAM OAM^=OCN^=góc OCM  (hai góc so le trong).

Xét ΔOAMΔOAM và Δ OCNΔ OCN có:

        $\widehat{O A M} = \widehat{O C N} (chứng minh trên)

        OA=OCOA=OC (chứng minh trên)

        AOM^ =Góc OAM=Góc CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó Δ OAM=Δ OCNΔ OAM=Δ OCN (g.c.g).

Suy ra AM=CNAM=CN (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, AB=CDAB=CD (chứng minh trên);

AB=AM+BMAB=AM+BM; CD=CN+DNCD=CN+DN.

Suy ra BM=DNBM=DN.

Xét tứ giác MBNDMBND có:

        BMBM // DNDN (vì ABAB // CDCD)

        BM=DNBM=DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBNDMBND là hình bình hành.

Vì ABCDABCD là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo ACAC và BDBD cắt nhau tại OO nên OA=OCOA=OC, OB=ODOB=OD.

+ ABAB // CDCD nên AMAM // CNCN suy ra góc OAM OAM^=OCN^=góc OCM  (hai góc so le trong).

Xét ΔOAMΔOAM và Δ OCNΔ OCN có:

        $\widehat{O A M} = \widehat{O C N} (chứng minh trên)

        OA=OCOA=OC (chứng minh trên)

        AOM^ =Góc OAM=Góc CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó Δ OAM=Δ OCNΔ OAM=Δ OCN (g.c.g).

Suy ra AM=CNAM=CN (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, AB=CDAB=CD (chứng minh trên);

AB=AM+BMAB=AM+BM; CD=CN+DNCD=CN+DN.

Suy ra BM=DNBM=DN.

Xét tứ giác MBNDMBND có:

        BMBM // DNDN (vì ABAB // CDCD)

        BM=DNBM=DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBNDMBND là hình bình hành.