4x² + 4y² + 6x + 3 $\ge 4xy$

ta có : 4x² + 4y² + 6x + 3 - 4xy ≥ 0

(x² +  4y² - 4xy ) + (3x² + 6x + 3) ≥ 0

( x - 2y )² + 3(x+1)² ≥ 0 (*)

lại có : ( x - 2y )²  ≥ 0

            3(x+1)² ≥ 0

=> (*) luôn đúng với mọi x , y => 4x² + 4y² + 6x + 3 $\ge 4xy\; luôn\; đúng\; với\; mọi\; x\; ,\; y$
 

Đặt n=3k , ta có :

3k(3k+1) 

Nếu k chẵn => k chia hết cho 2 => 3k(3k+1) chia hết cho 6

Nếu k lẻ =>3k lẻ => 3k+1 chẵn => 3k+1 chia hết cho 2 mà 3k chia hết cho 3 => 3k(3k+1) chia hết cho 6

Đặt n=2k+1 , ta có :

 n³ = (2k+1)³ = 8k³ + 12k² + 6k²+ 1 = 2(4k²+6k + 3) + 1

mà 2(4k²+6k + 3) là số chẵn => 2(4k²+6k + 3) +1 là số lẻ =>n³ là số lẻ