Xét tam giác ABC có :

BM cắt CN tại G

=> G là trọng tâm của tam giác ABC

=> GM = GB trên 2 ; GN = GC trên 2 ( t/c trọng tâm của Tam giác ) (1)

P là trung điểm của GB (gt) => GP=PB=GB trên 2 (2)

Q là trung điểm của GC (gt) => GQ=QC= GC trên 2 (3)

Từ (1),(2),(3) => GM = GP ;GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có :

GM= GP ( cmt )

GN = GQ ( cmt )

Vậy tứ giác PQMN là hình bình hành ( dhnb )

Bg

a) AB//CD; AB=CD(t/c hình bình hành )

BE= BA; CD=CF( gt )

=> BE=BA=CD=CF

=> BA + BE= CD + CF

=> AE = DF

Xét tứ giác AEFD có :

AE//DF( AB//CD )

AE=DF( cmt )

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành ( dhnb )

Xét tứ giác ABFC có :

AB//FC( AB//CD )

AB= FC ( cmt )

Vậy tứ giác ABFC là hình bình hành ( dhnb )

b) Tứ giác AEFD là hình bình hành ( cmt )

=> OD = OE ; OA = OF( t/c hình bình hành)

Tứ giác ABFC là hình bình hành ( cmt )

=> OA = OF ( t/c hình bình hành )

=> Góc B,O,C thẳng hàng => O thuộc BC

=> OB = OC

Vậy AF , DE , BC cùng đi qua trung điểm của mỗi đường

Bg

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có

Góc AOM = góc CON ( 2 góc đối đỉnh )

OA = ON (t/c hình bình hành)

AB//CD(t/c hình bình hành)

=> góc A1 = góc C1( 2 góc so le trong )

=> tam giác OAM=Tam giác OCN (gcg)

Xét tứ giác MBND có :

tam giác OAM=Tam giác OCN( cmt )

=> OM = ON ( 2 cạnh t/ứng )

OB = OD ( t/c hình bình hành ABCD )

Vậy tứ giác MBND là hình bình hành ( dhnb)

Bg

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có

Góc AOM = góc CON ( 2 góc đối đỉnh )

OA = ON (t/c hình bình hành)

AB//CD(t/c hình bình hành)

=> góc A1 = góc C1( 2 góc so le trong )

=> tam giác OAM=Tam giác OCN (gcg)

Xét tứ giác MBND có :

tam giác OAM=Tam giác OCN( cmt )

=> OM = ON ( 2 cạnh t/ứng )

OB = OD ( t/c hình bình hành ABCD )

Vậy tứ giác MBND là hình bình hành ( dhnb)

Bg

a) Xét tứ giác AEFD có:

AB=CD;AB//CD(t/c hình bình hành)

AE = BE (gt)

FD = FC ( gt )

=> AE = BE = FD = FC

=> AE=FD

=> AE//FD( AB//CD )

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành (dhnb)

Xét tứ giác AECF có :

AE = CF(cmt)

AE//CF( AB//CD)

Vậy tứ giác AECF là hình bình hành (dhnb)

b)

Tứ giác AEDF là hình bình hành (cmt)

=> EF = AD(t/c hình bình hành)

Tứ giác AEFD là hình bình hành (cmt)

=> AF = EC ( t/c hình bình hành )

Vậy EF = AD ; AF = EC