a) Xét tam giác AHD (vuông tại H) tam giác CKB (vuông tại K)có

AD=CB

góc ADH=góc CBK

do đó Tam giác AHD=tam giác CKB

Suy ra AH=CK

mà AH//CK

nên AHCK là hình bình hành

b)vì AHCK là hình bình hành(cmt)

=>AC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của AC

Vì ABCD là hình bình hành(gt)

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của BD

=>IB=ID

a)ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

       F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết của hình bình hành)

b) vì O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có : tứ giác EBFD là hình bình hành ( cmt ) 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

Do đó 3 điểm F;O;E thẳng hàng

Tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra:BG=2/3BM;GM =1/3BM (1)

Mà PG=1/2BG=1/2x2/3BM=1/3BM (2)

Từ (1) và (2) suy ra GM=PG

Chứng minh tương tự để có QG=GN

Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

a) Xét tam giác AHD (vuông tại H) tam giác CKB (vuông tại K)có

AD=CB

góc ADH=góc CBK

do đó Tam giác AHD=tam giác CKB

Suy ra AH=CK

mà AH//CK

nên AHCK là hình bình hành

b)vì AHCK là hình bình hành(cmt)

=>AC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của AC

Vì ABCD là hình bình hành(gt)

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của BD

=>IB=ID

a)ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

       F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết của hình bình hành)

b) vì O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có : tứ giác EBFD là hình bình hành ( cmt ) 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

Do đó 3 điểm F;O;E thẳng hàng

Tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra:BG=2/3BM;GM =1/3BM (1)

Mà PG=1/2BG=1/2x2/3BM=1/3BM (2)

Từ (1) và (2) suy ra GM=PG

Chứng minh tương tự để có QG=GN

Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành

 a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

AB // CD nên AM // CN suy ra  góc OAM= góc OCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

Góc OAM= góc OCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

Góc AOM= góc CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó tam giác OAM = tam giác OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

BM // DN (vì AB // CD)

BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

• a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

  Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE, CF = DF.

  Do đó AE = BE = CF = DF.

  • Xét tứ giác AEFD có:

  AE // DF (vì AB // CD);

  AE = DF (chứng minh trên)

  Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

  • Xét tứ giác AECF có:

  AE // CF (vì AB // CD);

  AE = CF (chứng minh trên)

  Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

  b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành(cmt) nên EF = AD.

  Vì tứ giác AECF là hình bình hành(cmt) nên AF = EC.

  Vậy EF = AD, AF = EC.