1. Các tam giác đồng dạng

Dựng AF cắt EB tại điểm G. Vì E và B cách đều A và F nên EB là tia phân giác trung trực của AF.

EB = √ (5 2 + 10 2 )

EB = 5√5

Các tam giác AGE và BAE đồng dạng vì cả hai đều là tam giác vuông có chung góc nhọn AEB. Do đó, chúng ta có thể giải AG sau:

AG / EA = BA / EB

AG = EA ( BA / EB )

AG = 5 (10 / (5√5))

AG = 10 / √5

Khi đó EB chia đôi AF nên ta có GF = AG = 10 / √5.

Sau đó ta dựng FH vuông góc với AD. Các tam giác AHF và AGE đồng dạng vì chúng là các tam giác vuông có chung một góc nhọn EAG. Vì AGE tương tự như BAE, chúng ta có AHF tương tự như BAE. Do đó chúng ta có:

AH / FA = BA / EB

AH = FA ( BA / EB )

AH = (20 / √5) (10 / (5√5))

AH = 8

Khi đó AH + HD = 10 nên HD = 2. Nhưng khi đó HD chính xác là khoảng cách thẳng đứng từ F đến CD nên đáp số là 2.

2. Hình học tọa độ

Gọi gốc tọa độ là góc dưới bên trái của hình vuông nên ta có tọa độ sau cho các điểm của hình vuông:Đường thẳng nối (0, 5) và (10, 10) có hệ số góc bằng (10 - 5) / (10 - 0) = 1/2 và giao điểm y của nó là 5. Do đó phương trình của nó là:

y 1 = (1/2) x + 5

Đoạn thẳng nối (0, 10) và F vuông góc với và phân giác bởi đường thẳng trên. Hệ số góc vuông góc là nghịch đảo âm của 1/2 nên đường thẳng mới có hệ số góc bằng -2. Giới hạn y là 10, vậy đường thẳng này có phương trình:

y 2 = -2 x + 10

Ta có thể giải giao điểm G bằng cách lập phương trình cho các đường thẳng bằng nhau:

y 1 = y 2

(1/2) x + 5 = -2 x + 10

2.5 x = 5

x = 2

Thay vào một trong hai phương trình ta được y = 6. Khi đó G là trung điểm của F ( p , q ) và (0, 10), vậy chúng ta có thể lấy trung bình các tọa độ y để có:

(10 + q ) / 2 = 6

q = 2

Tọa độ này chính xác là khoảng cách thẳng đứng trên cạnh đáy của hình vuông, vậy một lần nữa chúng ta nhận được đáp số là 2.

3. Lượng giác

Các tam giác AEB và FEB đồng dư vì chúng là phản xạ của nhau về EB. Vậy EF = 5, FB = 10. Và cạnh huyền của mỗi tam giác là EB = 5√5 như đã tính trước.

Giả sử các góc ABE và EBF có số đo θ. Cũng dựng FP vuông góc với AB. Trong tam giác FPB , chúng ta có:

sin (2 θ ) = FP / 10

Sử dụng công thức góc kép, chúng ta có:

2 sin ( θ ) cos ( θ ) = FP / 10

Trong tam giác EFB , chúng ta có thể tính sau:

sin ( θ ) = 5 / (5√5)

cos ( θ ) = 10 / (5√5)

Thay thế và đơn giản hóa chúng ta có:

2 sin ( θ ) cos ( θ ) = FP / 10

2 (5 / (5√5)) (5 ​​/ (5√5)) = FP / 10

(4/5) = FP / 10

8 = FP

Khoảng cách thẳng đứng từ CD đến AB là 10 và FP = 8 là khoảng cách thẳng đứng từ F đến AB. Vậy khoảng cách thẳng đứng từ F đến CD là 2.