Nối AF kéo dài cắt CD tại I và cắt BE tại H

Do \(\left\{{}\begin{matrix}AB=BF\\AE=EF\end{matrix}\right.\) theo cách gấp \(\Rightarrow EB\) là trung trực AF \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH\perp BE\\AF=2AH\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABE:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AE}{\sqrt{AB^2+AE^2}}=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow AF=2AH=4\sqrt{5}\)

Do \(\widehat{EAH}=\widehat{ABE}\) (cùng phụ \(\widehat{AEB}\)) 

\(\Rightarrow\Delta_VADI∽\Delta_VBAE\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{DI}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow DI=\dfrac{AD.AE}{AB}=5\)

\(\Rightarrow AI=\sqrt{AD^2+DI^2}=5\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow IF=AI-AF=\sqrt{5}\)

Do \(FK||AD\) (cùng vuông góc CD), áp dụng định lý Talet:

\(\dfrac{FK}{AD}=\dfrac{IF}{AI}\Rightarrow FK=\dfrac{AD.IF}{AI}=2\)