\(\dfrac{\left(2009-x\right)^2+\left(2009-x\right)\left(x-2010\right)+\left(x-2010\right)^2}{\left(2009-x\right)^2-\left(2009-x\right)\left(x-2010\right)+\left(x-2010\right)^2}=\dfrac{19}{49}\left(1\right)\)

\(Đkxđ:x\ne2009;x\ne2010\)

Đặt \(t=x-2010\left(t\ne0\right)\)

\(\Rightarrow2009-x=-\left(t+1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{\left(t+1\right)^2-\left(t+1\right)t+t^2}{\left(t+1\right)^2+\left(t+1\right)t+t^2}=\dfrac{19}{49}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{t^2+2t+1-t^2-t+t^2}{t^2+2t+1+t^2+t+t^2}=\dfrac{19}{49}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{t^2+t+1}{3t^2+3t+1}=\dfrac{19}{49}\)

\(\Leftrightarrow49t^2+49t+49=57t^2+57t+19\)

\(\Leftrightarrow8t^2+8t-30=0\)

\(\Leftrightarrow4t^2+4t-15=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4t^2+4t+1\right)-16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2t+1\right)^2=16=4^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2t+1=4\\2t+1=-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{3}{2}\\t=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2010=\dfrac{3}{2}\\x-2010=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{4023}{2}\\x=\dfrac{4015}{2}\end{matrix}\right.\)

a) \(A=\sqrt[]{\left(\sqrt[]{3}-2\right)^2}-\sqrt[]{3}+\sqrt[]{12}\)

\(\Leftrightarrow A=\left|\sqrt[]{3}-2\right|-\sqrt[]{3}+2\sqrt[]{3}\)

\(\Leftrightarrow A=2-\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}+2\sqrt[]{3}\left(2^2=4>\left(\sqrt[]{3}\right)^2=3\right)\)

\(\Leftrightarrow A=2\)

\(B=\left(\dfrac{3\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt[]{x}+1}-3\right).\dfrac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}+2}\left(x\ge0;x\ne1\right)\)

\(\Leftrightarrow B=\left(\dfrac{3\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}+1\right)-\left(\sqrt[]{x}-1\right)-3\left(x-1\right)}{\left(\sqrt[]{x}-1\right)\left(\sqrt[]{x}+1\right)}\right).\dfrac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow B=\left(\dfrac{3x+3\sqrt[]{x}-\sqrt[]{x}+1-3x+3}{\sqrt[]{x}-1}\right).\dfrac{1}{\sqrt[]{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow B=\dfrac{2\sqrt[]{x}+4}{\sqrt[]{x}-1}.\dfrac{1}{\sqrt[]{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow B=\dfrac{2\left(\sqrt[]{x}+2\right)}{\sqrt[]{x}-1}.\dfrac{1}{\sqrt[]{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow B=\dfrac{2}{\sqrt[]{x}-1}\)

b) \(B< -A\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt[]{x}-1}< -2\) \(\left(x\ge0;x\ne1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt[]{x}-1}+2< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-1}< 0\)

\(\Leftrightarrow0< \sqrt[]{x}< 1\)

\(\Leftrightarrow0< x< 1\left(thỏa.đkxd\right)\)

Vũ Nương là một người phụ nữ trọng danh dự và nhân phẩm cao. Từ trái tim của mình, cô đã sống với tình yêu và lòng vị tha. Dù trong hoàn cảnh khó khăn và đau đớn, Vũ Nương luôn giữ gìn khuôn phép và ăn ở đúng mực, một dấu chỉ cho sự cởi mở và lòng nhân ái của cô.

Khi đất nước đang chịu cảnh chiến tranh, chồng của Vũ Nương, Trương Sinh, đã đi lính để bảo vệ quê hương. Trong khi đó, Vũ Nương ở nhà chăm sóc con cái và mẹ già, không những làm mẹ tận tâm mà còn lo lắng và chăm sóc tận tình cho mẹ chồng đang ốm.

Sự mất mát của mẹ chồng đã khiến Vũ Nương đau lòng, nhưng cô vẫn hiếu kỳ và chăm sóc mẹ chồng như chính cha mẹ ruột. Cô đã tỏ ra là một con dâu chu đáo và thể hiện lòng biết ơn với mẹ chồng.

Tuy nhiên, một bi kịch không mong muốn đã xảy ra khi Vũ Nương phát hiện rằng chồng mình nghi ngờ có người khác vào nhà đêm đêm. Sau khi đối diện với sự phản bội và lời mắng chửi tàn độc từ Trương Sinh, cô đã bị ruồng bỏ và đuổi ra khỏi nhà mặc dù đã cố gắng thanh minh.

Trong cảnh uất ức, Vũ Nương đã quyết định tự tử ở bến Hoàng Giang, nhưng may mắn thay, cô được cứu sống và đưa về sống trong động rùa bởi Linh Phi, vợ vua Nam Hải.

Dưới sự giúp đỡ của Linh Phi và Phan Lang, người cùng làng, Vũ Nương sống trong động rùa và luôn hướng về gia đình của mình. Cô đã tập trung vào việc giải oan cho chính mình và cuối cùng đã quay trở về với một sự trở lại lộng lẫy không thể tưởng tượng được, trước khi biến mất mãi mãi.

Trong hết cuộc đời, Vũ Nương đã trở thành một biểu tượng cho sự tôn trọng danh dự và nhân phẩm. Câu chuyện của cô là một bài học về lòng vị tha, tình yêu và sức mạnh của một phụ nữ kiên cường và đáng kính.

“Chuyện người con gái Nam Xương”, Nguyễn Đình Chú cho rằng tác phẩm “cho thấy cái mong manh vô cùng mong manh của hạnh phúc đàn bà muôn nơi muôn thuở…để lại cho văn học dân tộc một thiên tình sử bi thảm làm nhức nhói trái tim người đọc bao đời nay”. Quả thực, tác phẩm là tiếng nói đại diện cho nỗi thống khổ của những người phụ nữ dưới chế độ phong kiến. Điều này được thể hiện rất rõ qua nhân vật Vũ Nương.

“Chuyện người con gái Nam Xương” là một trong hai mươi truyện trích trong “Truyền kì mạn lục”. Câu chuyện có nguyên gốc từ truyện dân gian “Vợ chàng Trương”. Mở đầu tác phẩm, tác giả đặt nhân vật Vũ Nương vào những hoàn cảnh khác nhau để bộc lộ phẩm chất nhân vật. Nguyễn Dữ đã giới thiệu “Vũ Thị Thiết người con gái quê ở Nam Xương, tính đã thùy mị nết na lại thêm tư dung tốt đẹp”. Chỉ bằng một câu văn ngắn, Nguyễn Dữ đã khái quát một cách đầy đủ vẻ đẹp tâm hồn của Vũ Nương, ở nàng hội tụ đầy đủ cả công - dung - ngôn - hạnh. Chàng Trương cũng bởi mến cái dung hạnh ấy, nên mới xin với mẹ trăm lạng vào cưới về.

 Dễ thấy ABDC là hình thang. Vì O, I lần lượt là trung điểm của AB, CD nên OI là đường trung bình của hình thang ABDC.

 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OI//AC//BD\Rightarrow OI\perp AB\left(tạiO\right)\\OI=\dfrac{AC+BD}{2}=\dfrac{CM+DM}{2}=\dfrac{CD}{2}=R\end{matrix}\right.\) với R là bán kính của đường tròn \(\left(CD\right)\).

 Từ đó suy ra AB tiếp xúc (I) tại O. (đpcm)

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

góc DAB chung

Do đó: ΔADB đồng dạng với ΔAEC

b: 

ΔADB đồng dạng với ΔAEC

=>AD/AE=AB/AC

=>AE*AC=AE*AB

ΔANB vuông tại N có NE là đường cao

nên AE*AB=AN^2

ΔAMC vuông tại M có MD là đường cao

nên AD*AC=AM^2

mà AE*AB=AD*AC

nên AM=AN

a. Gọi H là giao điểm của tia phản xạ OH với gương. Khi đó, OH là tia phản xạ của tia AB. Theo tính chất của gương phẳng, ta có: OH = AB = 1,7m và ·OAH = ·OHB. Do đó, tam giác OAH vuông cân tại H và AH = 0,85m. Gọi I là trung điểm của AH, K là trung điểm của MN. Khi đó, IK vuông góc với MN và IK = 0,85m. Do đó, chiều cao tối thiểu của gương là MN = 2.IK = 1,7m.

b. Gọi E là giao điểm của tia phản xạ OE với gương. Khi đó, OE là tia phản xạ của tia AC. Theo tính chất của gương phẳng, ta có: OE = AC = 0,69m và ·OAE = ·OEC. Do đó, tam giác OAE vuông cân tại E và AE = 0,345m. Gọi J là trung điểm của AE, L là trung điểm của MN. Khi đó, JL vuông góc với MN và JL = 0,345m. Do đó, khoảng cách từ mép dưới của gương đến sàn nhà là ML = LK - JL = 0,85 - 0,345 = 0,505m.

c. Gọi F là giao điểm của tia phản xạ OF với gương. Khi đó, OF là tia phản xạ của tia AD. Theo tính chất của gương phẳng, ta có: OF = AD = 1,7m và ·OAD = ·OFD. Do đó, tam giác OAD vuông cân tại F và AF = 0,85m. Gọi G là trung điểm của AF, N là trung điểm của MN. Khi đó, GN vuông góc với MN và GN = 0,85m. Do đó, khoảng cách từ điểm C đến sàn nhà là CN + NL + LM = CD + DL + LM = (MN - MD) + (MK - GN) + ML = (1,7 - 0,85) + (0,85 - 0,85) + 0,505 = 1,355m.

d. Gọi S là mép dưới của gương và T là mép trên của gương khi nghiêng với tường một góc α nhỏ nhất sao cho người thấy được chân mình trong gương. Khi đó:

• Tia SA phản xạ thành tia AT sao cho ·SAT = α.
• Tia SB phản xạ thành tia BT sao cho ·SBT = α.
• Tia SC phản xạ thành tia CT sao cho ·SCT = α.
• Tia SD phản xạ thành tia DT sao cho ·SDT = α.

Theo quy tắc Descartes cho gương phẳng nghiêng:

• sin(·OAS) / sin(·OAT) = sin(α) / sin(90° - α)
• sin(·OBS) / sin(·OBT) = sin(α) / sin(90° - α)
• sin(·OCS) / sin(·OCT) = sin(α) / sin(90° - α)
• sin(·ODS) / sin(·ODT) = sin(α) / sin(90° - α)

Do đó:

OAS = ·OAT = α

       OBS = ·OBT = α

      ·OCS = ·OCT = α

·ODS = ·ODT = α

Từ đó suy ra:

• OS = OA.sin(α) = 0,69.sin(α)
• OT = OA.sin(90° - α) = 0,69.cos(α)
• ST = OA.sin(90°) = 0,69
• BS = AB.sin(α) = 1,7.sin(α)
• BT = AB.sin(90° - α) = 1,7.cos(α)

Để người thấy được chân mình trong gương thì điều kiện cần và đủ là:

• BS + ST ≥ AB
• BT + ST ≥ AC

Từ hai bất đẳng thức trên, ta có:

• 1,7.sin(α) + 0,69 ≥ 1,7
• 1,7.cos(α) + 0,69 ≥ 0,69

Giải hệ bất đẳng thức trên, ta được:

• sin(α) ≥ 0,6
• cos(α) ≥ 0

Do đó:

• α ≥ arcsin(0.6)
• α ≥ 0

Vậy góc nghiêng nhỏ nhất của gương là α = arcsin(0.6) ≈ 36.87°.

\(x^2+y^2=3-xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=3.\left(1-xy\right)\)

\(\Leftrightarrow x-y=3\) và \(1-xy=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;-2\right),\left(2;-1\right),\left(-1;2\right),\left(-2;1\right)\)

hoặc \(x-y=0\) và \(1-xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;1\right),\left(-1;-1\right)\)

Dễ

\(y^2=-2\left(x^6-x^3y-32\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^6-2x^3y+y^2=64\)

\(\Leftrightarrow4x^6-4x^3y+2y^2=128\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^3-y\right)^2+y^2=128\)

Áp dụng bất đẳng thức sau: \(A^2+B^2\ge\dfrac{\left(A+B\right)^2}{2}\), ta có:

\(\left(2x^3-y\right)^2+y^2\ge\dfrac{\left(2x^3-y+y\right)^2}{2}=2x^6\)

\(\Leftrightarrow128\ge2x^6\Leftrightarrow x^6\le64\)

\(\Leftrightarrow-2\le x^2\le2\)

Vậy \(x\in\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\)