Giải

Ta có: \(A=-2x^2+6x+9\left(x\inℝ\right)\)

\(\Rightarrow A=-2x^2+\left(-2\right).\left(-3x\right)+\left(-2\right).\left(-\frac{9}{2}\right)\)(Biến đổi tất cả các hạng tử sao cho có nhân tử chung là -2)

\(\Rightarrow A=-2\left(x^2-3x-\frac{9}{2}\right)\)(Rút nhân tử chung)

\(\Rightarrow A=-2\left[x^2-2.\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}\right]\)(Tách 9/2 thành (3/2)^2 - 27/4. Dễ thấy có hằng đẳng thức)

\(\Rightarrow A=-2\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}\right]\)

(Cho -27/4 ra ngoài, còn lại ta sử dụng hẳng đẳng thức \(A^2-2AB+B^2=\left(A-B\right)^2\))

Vì \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)với mọi x (bình phương của một số luôn lớn hơn hoặc bằng 0)

Nên \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}\ge-\frac{27}{4}\)

\(\Rightarrow-\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}\right]\le\frac{27}{4}\)(Nhân thêm -1 cả hai vế thì dấu lớn hơn hoặc bằng phải đổi thành bé hơn hoặc bằng)

\(\Rightarrow-2\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}\right]\le\frac{27}{2}\)(Nhân thêm 2 vào cả hai vế)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=0\)(Ở đây nhỏ hơn hoặc bằng thì khi bằng nó sẽ là giá trị lớn nhất)

\(\Leftrightarrow x-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\frac{27}{2}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

a/

\(HE\perp AB;FA\perp AB\) => HE//FA (1)

\(AE\perp AC;HF\perp AC\)=> AE//HF (2)

\(\widehat{BAC}=90^o\)(3)

Từ (1) (2) (3) => AEHF là HCN => EF=AH (trong HCN hai đường chéo bằng nhau)

b/

Xét tg vuông ABC có

\(AM=\frac{BC}{2}\) (Trung tuyến thuộc cạnh huyền)

\(BM=CM=\frac{BC}{2}\)

=> AM=BM => tg ABM cân tại M \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BAM}\) (Góc ở đáy của tg cân) (1)

Xét tg OHE có

OH=OE (Trong HCN 2 đường chéo = nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => tg OHE cân tạo O \(\Rightarrow\widehat{OEH}=\widehat{HOE}\) (2)

Xét tg AOE có 

OA=OE => tg AOE cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OEA}=\widehat{BAH}\) (3)

\(\widehat{OEA}+\widehat{OEH}=90^o\) (4)

\(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^o\) (5)

Từ (3) (4) (5) \(\Rightarrow\widehat{OEH}=\widehat{ABC}\) (6)

Từ (1) (2) (6) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BAM}=\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\) (7)

Xét tg HEO có \(\widehat{EOH}=180^o-\left(\widehat{OEH}+\widehat{OHE}\right)\) (8)

Xét tg ABM có \(\widehat{AMB}=180^o-\left(\widehat{ABC}+\widehat{BAM}\right)\) (9)

Từ (7) (8) (9) \(\Rightarrow\widehat{EOH}=\widehat{AMB}\) Mà \(\widehat{EOH}=\widehat{FOA}\) (góc đối đỉnh) \(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{FOA}\)

Xét tg vuông AHM có \(\widehat{HAM}+\widehat{AMB}=90^o\Rightarrow\widehat{HAM}+\widehat{FOA}=90^o\Rightarrow\widehat{AIO}=90^o\Rightarrow AM\perp EF\)

1) => 3x(x-4)-(x-4)=0 

    => (x-4) (3x-1)=0

    => x-4 = 0 hoặc 3x -1 = 0 

    => x = 4 hoặc 3x = 1 

    => x = 4 hoặc x = -1/3 

2) => x(x-7)+2(x-7) = 0 

    => (x-7)(x+2) = 0 

    => x-7 = 0 hoặc x+2 = 0

    => x = 7 hoặc x = -2

3) => (x+5)^2 = 0 

    => x+5 = 0 

    => x = -5 

4) => (x+1/2)^2 = 0 

    => x+1/2=0

    => x = -1/2 

5) => 3x(x^2-4x+4) = 0

    => 3x(x-2)=0 

    => 3x = 0 ( vô lí vì 0 không chia được cho 3 ) hoặc x-2 = 0 

    => x = 2

6) => (2x)^2 - (x-2)^2 = 0

    => (2x-x-2)(2x+x-2) = 0

    => (x-2)(3x-2) = 0 

    => x-2 = 0 hoặc 3x - 2 = 0 

    => x = 2 hoặc 3x = 2 

    => x = 2 hoặc x = 2/3 

7) => x(x^2-25) = 0 

    => x(x-5)(x+5) = 0 

    => x = 0 hoặc x - 5 = 0 hoặc x+5 = 0 

    => x = 0 hoặc x = 5 hoặc x = - 5

a/

\(CH\perp AB;BE\perp AB\) => CH//BE

\(BH\perp AC;CE\perp AC\)=> BH//CE

=> BHCE là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

b/

Nối H với E cắt BC tại D' => D'B=D'C ( Trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> D' là trung điểm của BC mà D cũng là trung điểm BC nên \(D\equiv D'\) => H, D, E thẳng hàng

c/

Xét tg AHE có

KA=KE (giả thiết)

DH=DE (Trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> DK là đường trung bình của tg AHE \(\Rightarrow DK=\frac{1}{2}AH\)

d/

Ta có 

Q và N đều nhìn BC dưới 1 góc vuông => Q và N thuộc đường tròn đường kính BC => BQNC là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{QNB}=\widehat{QCB}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung BQ) (1)

B và C đều nhìn AE dưới 1 góc vuông => B và C thuộc đường tròn đường kính AE => ABEC là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{EBC}\)(Góc nội tiếp cùng chắn cung EC) (2)

\(\widehat{QCB}=\widehat{EBC}\) (góc so le trong) (3)

Từ (1) (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{QNB}=\widehat{EAC}\)

Mà \(\widehat{QNB}+\widehat{ANI}=90^o\Rightarrow\widehat{EAC}+\widehat{ANI}=90^o\)

Xét tg ANI có

\(\widehat{AIN}=180^o-\left(\widehat{EAC}+ANI\right)=180^o-90^o=90^o\)

\(\Rightarrow AE\perp QN\)