Cho đuờng tròn (O,R) có dây BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Gọi AD, BE, CF là các đuờng cao và H là trực tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của BC.
1) Chứng minh 4 điểm A,F,H,E cùng nằm trên một đuờng tròn và 4 điểm B,C,E,F cũng nằm trên một đuờng tròn
2) Khi cung nhỏ BC có số đo bằng 90*, tính độ dài dây cung BC và diện tích tam giác OBC
3) Đuờng thẳng qua E và vuông góc với EI cắt BC tại P.Chứng minh: PE^2=PB.PC

Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, C là điểm  thuộc(O) sao cho AC<AB. Các tiếp tuyến  của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D.Từ C kẻ đường thẳng song song với BD và cắt AB tại H, gọi F là giao điểm  của OD và BC 

1, CMR CHOF nội tiếp

3, tiếp tuyến tại A cắt DC tại F, gọi M,N lần lượt là giao điểm của AD với BC và đường tròn tâm O . CMR

MN.AD=AM.DN

Cho đường tròn (O,R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến  MA,MB với đường tròn  (A,B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD không đi qua tâm O(C nằm giữa). Gọi I là trung điểm của CD

a, Chứng minh AMBI nội tiếp

b, Đường thẳng qua C vuông góc với OA  cắt AB,AD lần lượt ở N,K. Chứng minh BCNI nội tiếpvà Nlà trung điểm của CK

c, Gọi Q là giao điểm của AB và MD. Chứng minh \(\frac{QC}{QD}=\frac{MC}{MD}\)

Tìm các số thực dương x,y thỏa mãn:

                          (x+y)²+3(x²+2x+y)=0

Sao cho biểu thức 

                        P=8x³+y³+3(4x²+y²)

đạt giá trị nhỏ nhất.