Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn \(x^2+y^2=xy+1\). Chứng minh \(\frac{x}{x^2+y}+\frac{y}{y^2+x}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
D
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(2\ge2a+3b\ge2\sqrt{2.3.ab}\Rightarrow ab\le\frac{1}{6}\)
\(A=\frac{4}{4a^2+9b^2}+\frac{9}{ab}=\frac{4}{4a^2+9b^2}+\frac{4}{12ab}+\frac{26}{3ab}\)
\(\ge\frac{\left(2+2\right)^2}{4a^2+9b^2+12ab}+\frac{26}{3.\frac{1}{6}}\)
\(=\frac{4^2}{2^2}+52=56\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}2a=3b\\2a+3b=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{3}\end{cases}}\).
PT
1
SN
1
20 tháng 8 2021
\(\sqrt{x^2-x+3}=2-x\left(x\le2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+3=x^2-4x+4\)
\(\Leftrightarrow3x=1\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\left(tm\right)\)
20 tháng 8 2021
Thay x = 1 ; y = 1 vào y = ax + b ta được : a + b = 1 (1)
Thay x = 0 ; y = -2 vào y = ax + b ta được : b = -2 (2)
Lấy (2) thay vào (1) ta được : a - 2 = 1 <=> a = 3
Vậy a = 3 ; b = -2
20 tháng 8 2021
A B C D H K M N
a, ABCD là hình bình hành => AD // BC => ^ADB = ^DBC (2 góc so le trong)
xét tam giác AHD và tam giác CKB có : AD = BC
^AHD = ^CKB = 90
=> tg AHD = tg CKB (ch-gn)
=> AH = CK
b, xét tứ giác AKCH có : AH = CK
AH // CK do cùng _|_ BD (gt)
=> AKCH là hình hình hành
=> AK // HC
=> akh = khc
c, Có AN // MC ; AH // CK
=> ANCM là hbh
=> AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
có ABCD là hbh => AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
==> AC;;BD;MN đồng quy
NB
3
20 tháng 8 2021
\(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}+\frac{3\sqrt{x}+1}{1-x}\)ĐK : \(x\ge0;x\ne1\)
\(=\frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{x-1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
20 tháng 8 2021
\(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}+\frac{3\sqrt{x}+1}{1-x}\)
\(ĐKXĐ:x\ge0;x\ne1\)
\(P=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2-3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(P=\frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(P=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(P=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
20 tháng 8 2021
ĐK : x >= 1/2
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}< -3\)dễ thấy điều này vô lí vì \(\sqrt{2x-1}\ge0\forall x\ge\frac{1}{2}\)
Vậy bpt vô nghiệm
20 tháng 8 2021
1, \(\sqrt{10+2\sqrt{21}}=\sqrt{7+2\sqrt{7.3}+3}=\sqrt{\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{7}+\sqrt{3}\)
2, \(\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{7-2\sqrt{7.2}+2}=\sqrt{\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{7}-\sqrt{2}\)
3, \(\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{14-2.3\sqrt{5}}=\sqrt{9-2.3\sqrt{5}+5}\)
\(=\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}=3-\sqrt{5}\)
4, \(\sqrt{21-12\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}}=\sqrt{21-2.3.2\sqrt{3}}-\sqrt{13-2.2\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{\left(3-2\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{\left(2\sqrt{3}-1\right)^2}=3-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}\)
20 tháng 8 2021
1. \(\sqrt{10+2\sqrt{21}}=\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)^2}=\left|\sqrt{3}+\sqrt{7}\right|=\sqrt{3}+\sqrt{7}\)
2. \(\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)^2}=\left|\sqrt{7}-\sqrt{2}\right|=\sqrt{7}-\sqrt{2}\)
3. \(\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}=\left|3-\sqrt{5}\right|=3-\sqrt{5}\)
4. \(\sqrt{21-12\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{21-6\sqrt{12}}-\sqrt{13-2\sqrt{12}}\)
\(=\sqrt{\left(9-\sqrt{12}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{12}-1\right)^2}\)
\(=\left|9-\sqrt{12}\right|-\left|\sqrt{12}-1\right|\)
\(=9-\sqrt{12}-\sqrt{12}+1=10\)