Gọi a,b,c là 3 cạnh của tam giác ( a,b,c > 0)

Theo đề bài ta có :

Do a,b,c tỉ lệ nghịch với 8;9;12 => 8a = 9b = 12c 

\(\Rightarrow\dfrac{8a}{72}=\dfrac{9b}{72}=\dfrac{12c}{72}\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{9}=\dfrac{b}{8}=\dfrac{c}{6}\) và \(a+b+c=46\)

Áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{a}{9}=\dfrac{b}{8}=\dfrac{c}{6}=\dfrac{a+b+c}{9+8+6}=\dfrac{46}{23}=2\)

\(\dfrac{a}{9}=2\Rightarrow a=18\) ( cm )

\(\dfrac{b}{8}=2\Rightarrow b=16\) ( cm )

\(\dfrac{c}{6}=2\Rightarrow c=12\) ( cm)

Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là 18,16,12

dễ ấy mà

a) Xét ΔACE và ΔAKE có:

\(\widehat{ACE}=\widehat{AKE}=90^0\)

AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\) (AE là tia phân giác \(\widehat{BAC}\) mà K ϵ AB ⇒ AE là tia phân giác \(\widehat{KAC}\) )

⇒ ΔACE = ΔAKE (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AC = AK (2 cạnh tương ứng)

b) Xét ΔABC có:

\(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\) (Tổng 3 góc trong tam giác)

\(60^0+\widehat{ABC}+90^0=180^0\)

\(150^0+\widehat{ABC}=180^0\)

\(\widehat{ABC}=180^0-150^0\)

\(\widehat{ABC}=30^0\)

\(\Rightarrow\widehat{KBE}\left(K\in AB,E\in BC\right)\)

\(\widehat{BAC}=60^0\Rightarrow\widehat{KAC}=60^0\left(K\in AB\right)\)

mà AE là tia phân giác \(\widehat{KAC}\) 

\(\Rightarrow\widehat{KAE}=\dfrac{\widehat{KAC}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

\(\Rightarrow\widehat{KBE}=\widehat{KAE}=30^0\)

Vì ΔKEB và ΔKEA là hai tam giác vuông

⇒ \(\widehat{KEB}+\widehat{KBE}=\widehat{KEA}+\widehat{KAE}=90^0\) (Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow\widehat{KEB}=\widehat{KEA}\)

Xét ΔKEB và ΔKEA có:

\(\widehat{BKE}=\widehat{AKE}=90^0\)

AK chung

\(\widehat{KEB}=\widehat{KEA}\)

\(\widehat{EAC}=30^0\)

Vì ΔAEC là tam giác vuông

\(\widehat{AEC}+\widehat{EAC}=90^0\)

\(\widehat{AEC}+30^0=90^0\)

\(\widehat{AEC}=90^0-30^0=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BKE}>\widehat{AEC}\left(90^0>60^0\right)\)

⇒ EB > AC (quan hệ góc cạnh tam giác)