- cho a là số nguyên tố lớn hơn 3 : Chứng minh rằng (a^2 - 1) chia hết cho 6
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
n chẵn => n = 2k (k \(\in\)N)
n3 + 6n2 + 8n = (2k)3 + 6.(2k)2 + 8.(2k) = 8k3 + 24.k2 + 16k = 8k. (k2 + 3k + 2) = 8k.(k2 + 2k + k + 2)
= 8k. [k(k +2) + (k+2)] = 8k.(k+1).(k+2)
Nhận xét: k; k+1; k+ 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 6
=> 8k.(k+1).(k+2) chia hết cho 8.6 = 48
=> n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48
4x4-32x2+1
=4x4+12x3+2x2-12x3-36x2-6x+2x2+6x+1
=2x2.(2x2+6x+1)-6x.(2x2+6x+1)+(2x2+6x+1)
=(2x2+6x+1)(2x2- 6x+1)
= 4x4 - 4x2 + 1 - 28x2 = [(2x2)2 - 2.2x2 .1 + 12 ] - 28x2 = (2x2 - 1)2 - (\(\sqrt{28}\).x)2
= (2x2 - 1 - \(\sqrt{28}\)x) .(2x2 -1 + \(\sqrt{28}\)x) = (2x2 - 2\(\sqrt{7}\)x - 1). (2x2 + 2\(\sqrt{7}\)x -1)
(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24
=(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)-24
=(x2+7x+10)(x2+7x+12)-24
Đặt t=x2+7x+10 ta được:
t.(t+2)-24
=t2+2t-24
=t2-4t+6t-24
=t.(t-4)+6.(t-4)
=(t-4)(t+6)
thay t= x2+7x+10 ta được:
(x2+7x+6)(x2+7x+16)
=(x2+x+6x+6)(x2+7x+16)
=[x.(x+1)+6.(x+1)](x2+7x+16)
=(x+1)(x+6)(x2+7x+16)
Vậy (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24=(x+1)(x+6)(x2+7x+16)
= [(x+2).(x+5)]. [(x+3).(x+4)] - 24 = (x2 + 5x + 2x+ 10). (x2 + 4x+3x+12) - 24
= (x2 + 7x + 10).(x2 + 7x + 12) - 24
= (x2 + 7x + 10). [(x2 + 7x + 10)+ 2] - 24 = (x2 + 7x + 10)2 + 2. (x2 + 7x + 10) - 24
= (x2 + 7x + 10)2 + 6 (x2 + 7x + 10) - 4(x2 + 7x + 10) - 24
= [ (x2 + 7x + 10)2 + 6 (x2 + 7x + 10)] - [4(x2 + 7x + 10) + 24]
= (x2 + 7x + 10) . [(x2 + 7x + 10) + 6] - 4. [(x2 + 7x + 10) + 6]
= (x2 + 7x + 10 - 4). [(x2 + 7x + 10) + 6] = (x2 + 7x + 6). (x2 + 7x + 16)
= (x2 + x+ 6x + 6). (x2 + 7x + 16) = [x(x+1) + 6.(x+1)]. (x2 + 7x + 16) = (x+6).(x+1).(x2 + 7x + 16)
= x2 + 8x + 16 - 6 = (x2 +2.x.4 + 42) - (\(\sqrt{6}\))2 = (x+4)2 - (\(\sqrt{6}\))2 = (x+4 - \(\sqrt{6}\)). (x+4+ \(\sqrt{6}\))
vậy 2x3-x2+5x+3 = 0 <=> (2x+1).(x2 - x+ 3) = 0 <=> 2x+1 = 0 hoặc x2 - x + 3 = 0
+) 2x+1 = 0 <=> x = -1/2
+) x2 - x+ 3 = 0 Vô nghiệm vì x2 - x+ 3 = x2 - 2.x. \(\frac{1}{2}\)+ \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{11}{4}\) = (x - \(\frac{1}{2}\)) 2 + \(\frac{11}{4}\)> 0 với mọi x
Vậy phương trình có nghiệm x = -1/2
Ta có a+b+c+d=0
=> a+b=-(c+d)
=> (a+b)^3=-(c+d)^3
=> a^3+b^3+3ab(a+b) = -c^3-d^3-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3 = -3ab(a+b)-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3 = 3ab(c+d)-3cd(c+d) (vì a+b = - (c+d))
=> a^3 +b^3+c^3+d^3 = 3(c+d)(ab-cd) (đpcm)
(a+b+c)3=(a+b)3+3(a+b)2.c+3.(a+b).c2+c3
=a3+3a2b+3ab2+b3+3(a+b)2.c+3.(a+b).c2+c3
=a3+b3+c3+[3a2b+3ab2+3(a+b)2.c+3.(a+b).c2]
=a3+b3+c3+[3ab(a+b)+3(a+b)2c+3(a+b)c2]
=a3+b3+c3+3(a+b)[ab+(a+b)c+c2]
=a3+b3+c3+3(a+b)(ab+ac+bc+c2)
=a3+b3+c3+3(a+b)[a.(b+c)+c.(b+c)]
=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(a+c)
=> ĐPCM
(a+b+c)3 = (a + b)3 + c3 + 3(a+b)c.(a+b+c)
= a3 + b3 + 3ab.(a+b) + c3 + 3(a+b)c(a+b+c) = a3 + b3 + c3 + 3(a+b). (ab + ac + bc + c2 )
= a3 + b3 + c3 + 3.(a+b). [a(b+c) + c.(b+c)] = a3 + b3 + c3 + 3(a+b).(a+c).(b+c)
Chứng minh: chia hết cho 24
+) Chứng minh a2 - 1 chia hết cho 3 ( đã chứng minh)
+) Chứng minh a2 - 1 chia hết cho 8
a2 - 1 = (a - 1)(a+ 1) Vì a là số nguyên tố > 3 nên a lẻ => a - 1 và a + 1 chẵn
Ta có a - 1 và a+ 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên đặt a - 1 = 2k ; a + 1 = 2k + 2
=> a2 - 1 = 2k.(2k+2) = 4.k.(k+1)
Vì k; k+ 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên k.(k+1) chia hết cho 2 =>a2 - 1 = 4k(k+1) chia hết cho 4.2 = 8
Vậy a2 -1 chia hết cho cả 3 và 8 nên chia hết cho 24