1. Vẽ hình:

• Vẽ tam giác ABC cân tại A (AB = AC).
• Vẽ tia phân giác góc A, cắt cạnh BC tại điểm H.
• Từ điểm H, vẽ đường vuông góc xuống cạnh AB tại điểm K (HK là hình chiếu của H trên AB).
• Từ điểm H, vẽ đường vuông góc xuống cạnh AC tại điểm M (HM là hình chiếu của H trên AC).

2. Phân tích bài toán:

• Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc B = góc C.
• Vì AH là tia phân giác góc A, nên góc BAH = góc CAH.
• HK và HM là các đường cao, tạo ra các tam giác vuông HKH và HCM.

3. Các tính chất và định lý có thể áp dụng:

• Tính chất của tam giác cân: Hai góc ở đáy bằng nhau, đường phân giác cũng là đường trung tuyến, đường cao.
• Định lý về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
• Tính chất của tia phân giác trong tam giác.

4. Một số điều có thể chứng minh được từ bài toán:

• Tam giác AHK bằng tam giác AHM (cạnh huyền - góc nhọn).
• HK=HM.
• Tam giác BKH bằng tam giác CHM(cạnh huyền-góc nhọn).
• BK=CM.
• BH=CH.

Hình vẽ minh họa:

      A
     / \
    /   \
   /     \
  K-------M
 / \     / \
B---H---C

Lưu ý:

• Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa, bạn nên tự vẽ hình chính xác để dễ dàng quan sát và giải bài toán.
• Bạn có thể sử dụng các tính chất và định lý đã nêu để chứng minh các điều cần thiết trong bài toán.

a: Xét ΔEDG và ΔFDG có

DE=DF

DG chung

EG=FG

Do đó: ΔEDG=ΔFDG

=>\(\widehat{EDG}=\widehat{FDG}\)

=>DG là phân giác của góc EDF

=>\(\widehat{EDG}=\dfrac{90^0}{2}=45^0=\widehat{DFG}\)

b:

Ta có: ΔDEF cân tại D

mà DG là đường trung tuyến

nên DG\(\perp\)EF tại G

Ta có: \(\widehat{IDE}+\widehat{IDF}=\widehat{EDF}=90^0\)

\(\widehat{IDF}+\widehat{DFK}=90^0\)(ΔFKD vuông tại K)

Do đó: \(\widehat{IDE}=\widehat{DFK}\)

Xét ΔIDE vuông tại I và ΔKFD vuông tại K có

DE=FD

\(\widehat{IDE}=\widehat{KFD}\)

Do đó: ΔIDE=ΔKFD
=>EI=DK

Xét tứ giác FGKD có \(\widehat{FKD}=\widehat{FGD}=90^0\)

nên FGKD là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{GKH}=\widehat{GFD}\left(=180^0-\widehat{GKD}\right)\)

=>\(\widehat{GKH}=45^0\)

Xét tứ giác DGIE có \(\widehat{DGE}=\widehat{DIE}=90^0\)

nên DGIE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{GID}=\widehat{GED}=45^0\)

Xét ΔGIK có \(\widehat{GIK}=\widehat{GKI}=45^0\)

nên ΔGIK vuông cân tại G

Gọi số tiền của 3 bạn Nam, Thư, Sinh lần lượt là: \(x,y,z\) ( đồng\(;x,y,z>0\))
Theo bào ra, ta có:
\(\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{8}\) và \(x+y+z=168000\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{8}=\dfrac{x+y+z}{6+7+8}=\dfrac{168000}{21}=8000\)
Do đó:
\(\dfrac{x}{6}=8000\) nên \(x=8000.6=48000\)
\(\dfrac{y}{7}=8000\) nên \(y=8000.7=56000\)
\(\dfrac{z}{8}=8000\) nên \(z=8000.8=64000\)
Vậy số tiền của 3 bạn Nam, Thư, Sinh lần lượt là \(48000\) đồng; \(56000\) đồng; \(64000\) đồng

Đây là toán nâng cao chuyên đề lập số theo điều kiện cho trước, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

Giải:

Để được số bé nhất thì số đó phải ít số chữ số nhất có thể. Nên chữ số hàng cao phải thấp và chữ số hàng thấp phải cao

Chọn chữ số hàng đơn vị là 9 thì tổng các chữ số còn lại là:

30 - 9 = 21

Chữ số lớn nhất khác chữ số 9 là 8 vậy chọn chữ số hàng chục là 8, khi đó tổng các chữ số còn lại là:

21 - 8 = 13

Chữ số lớn nhất khác chữ số 8 và chữ số 9 là 7. Vậy chọn chữ số hàng trăm là 7. Tổng chữ số còn lại là:

13 - 7 = 6

Vì chữ số 6 là chữ số lớn nhất khác chữ số 7, 8 , 9 nên chữ số hàng nghìn là 6

Vậy số cần tìm nhỏ nhất có các chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng 30 là: 6789

Đáp số: 6789

Olm chào em, đây là toán nâng cao chuyên đề trung bình cộng. Cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

Giải:

Tổng điểm của ba bài kiểm tra là: 8 x 3 = 24 (điểm)

Điểm tiếng Việt và tiếng Anh là: 24 - 10 = 14 (điểm)

Đáp số: 14 điểm

Vì đề hỏi tổng điểm hai môn,

23 + 3 = 26

26

Vì 8x8=64 nên Độ dài cạnh mảnh vườn hình vuông là 8m

Chu vi mảnh vườn hình vuông là:

\(8\times4=32\left(m\right)\)

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là:

\(12\times8=96\left(m^2\right)\)

Bài 2:

a: Khi x=4 thì \(M=\dfrac{4+3}{4-2}=\dfrac{7}{2}\)

b: \(M=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{x+3}{x-2}=\dfrac{2}{3}\)

=>3(x+3)=2(x-2)

=>3x+9=2x-4

=>3x-2x=-4-9

=>x=-13(nhận)

c: Để M là số nguyên dương thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+3⋮x-2\\M>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2+5⋮x-2\\\dfrac{x+3}{x-2}>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5⋮x-2\\\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< -3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\\\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< -3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>\(x\in\left\{3;7\right\}\)

Bài 3:

ΔMIN vuông tại I

=>\(IM^2+IN^2=MN^2\)

=>\(x=MI=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{144-25}=\sqrt{119}\left(cm\right)\)

ΔMIP vuông tại I

=>\(IM^2+IP^2=PM^2\)

=>\(y=\sqrt{119+100}=\sqrt{219}\left(cm\right)\)

Bài 4:

a: Xét ΔBAC vuông tại A và ΔBHA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔBAC~ΔBHA

b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

Do đó: ΔHBA~ΔHAC

=>\(\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HA}{HC}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

c: Xét tứ giác AIHK có \(\widehat{AIH}=\widehat{AKH}=\widehat{KAI}=90^0\)

nên AIHK là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AKI}=\widehat{AHI}\)

mà \(\widehat{AHI}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

nên \(\widehat{AKI}=\widehat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

\(\widehat{AKI}+\widehat{MAC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>AM\(\perp\)IK

a: Xét ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC

Do đó: ΔAMB=ΔAMC

b: ΔAMB=ΔAMC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\)

Xét ΔAEM vuông tại E và ΔAFM vuông tại F có

AM chung

\(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\)

Do đó: ΔAEM=ΔAFM

=>ME=MF

mà MF<MC(ΔMFC vuông tại F)

nên ME<MC

x;y;z tỉ lệ với 3;5;6

=>\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{6}\)

mà 3x+y-z=-52

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{6}=\dfrac{3x+y-z}{3\cdot3+5-6}=\dfrac{-52}{9+5-6}=\dfrac{-52}{8}=-\dfrac{13}{2}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{13}{2}\cdot3=-\dfrac{39}{2}\\y=-\dfrac{13}{2}\cdot5=-\dfrac{65}{2}\\z=-\dfrac{13}{2}\cdot6=-39\end{matrix}\right.\)