cm: ∀ n ϵ N , n² ≥ n

phương pháp quy nạp toán học

với n =  1 ⇔ 1² = 1 (đúng)

giả sử n² ≥ n đúng với n = k ( k ϵ N) ⇔ k² ≥ k (1)

ta cần chứng minh n² ≥ n đúng với  n = k +  1 

thât vậy với n = k + 1 , k ϵN ta có:

(k+1)² - (k+1) = (k+1)(k+1 -1) =(k+ 1).k = k² + k (2)

thay (1) vào (2) ta có : (k+1)² - (k+1) = k² + k ≥ 2k ≥ 0 vì (kϵN)

⇔ (k+1)² ≥ k +1  

vậy n² ≥ n ∀ n ϵ N (đpcm)

Bạn tham khảo nhé.

ĐKXĐ: ...

$\iff \{\begin{array}{c}3{\left(x+y\right)}^2+\frac{3}{{\left(x+y\right)}^2}+{\left(x-y\right)}^2=\frac{85}{3}\\ x+y++\frac{1}{x+y}+x-y=\frac{13}{3}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}3{\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2=\frac{103}{3}\\ x+y+\frac{1}{x+y}+x-y=\frac{13}{3}\end{array}$

Đặt $\{\begin{array}{c}u=x+y+\frac{1}{x+y}\\ v=x-y\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}3u^2+v^2=\frac{103}{3}\\ u+v=\frac{13}{3}\end{array}$

$\Rightarrow 3u^2+{\left(\frac{13}{3}-u\right)}^2=\frac{103}{3}$

$\iff ...$

Mệnh đề phủ định của các mệnh đề đã cho như sau.

a. \(\exists x\inℝ,x^2=2x-2\)

Phương trình \(x^2-2x+2=0\) vô nghiệm nên mệnh đề trên Sai.

b. \(\exists x\inℝ,x^2\le2x\)     , Bất phương trình \(x^2\le2x\Leftrightarrow x^2-2x\le0\Leftrightarrow x^2-2x+1-1\le0\)

có nghiệm nên mệnh đề trên là mệnh đề Đúng

có

1. Sai với \(x< 0\)

2. Sai với \(x=\pm2\)

3. Sai do \(x=\pm\sqrt{3}\notin\)

4. Đúng với \(x=0\Rightarrow x^2\le0\)

xét mệnh đề 1 ta có giả sử mệnh đề 1 là đúng thì 

5x ≥ 4x ∀ x ϵ R

⇔ 5x - 4x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ∀ R vô lý vì nếu x = -1 thì x < 0

vậy mệnh đề 1 là sai

xét mệnh đề 2, giả sử mệnh đề 2 là đúng thì ta có:

x² - 4 ≠ 0 ∀ x ϵ R ⇔ (x-2)(x+2) # ∀ x ϵ R

vô lý vì x = +- 2 thì x² - 4 = 0 vậy mệnh đề 2 là sai

xét mệnh đề 3 , giả sử mệnh đề 3 là đúng ta có :

x² - 3 = 0  với x ϵ N 

⇔ x² = 3 + 0 ⇔ x² = 3 vì x ϵ N nên x² là một số chính phương mà số chính phương không thể có tận cùng bằng 3 , vậy mệnh đề 3 là sai

xét mệnh đề 4 ta có ∃ x ϵ R :  x² ≤ 0 

vì x² ≥ 0 mà x² ≤ 0 đúng ⇔ x = 0 vậy tồn tại x = 0 để x² ≤ 0

mệnh đề 4 là đúng 

You can learn the difficult concept to understand from Solvemate. This is a education service for using technology to adapt in order to create mathematical problems based on the learning needs of students.
Math mate in your pocket. https://intro.solve-mate.com/

Kẻ đường cao BH của tam giác ABC. Ta có \(BH=AB.sinA\) (liên hệ giữa góc và cạnh trong tam giác vuông)

Mặt khác \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AC.BH\) nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.sinA\)

You can learn the difficult concept to understand from Solvemate. This is a education service for using technology to adapt in order to create mathematical problems based on the learning needs of students.
Math mate in your pocket. https://intro.solve-mate.com/

Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ, khi đó \(\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}\) với \(m,n\inℕ^∗\) và \(\left(m,n\right)=1\)

\(\Rightarrow2=\dfrac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=2n^2\Rightarrow m^2⋮2\Rightarrow m⋮2\Rightarrow m=2k\left(k\inℕ\right)\) 

\(\Rightarrow\left(2k\right)^2=2n^2\Rightarrow4k^2=2n^2\Rightarrow2k^2=n^2\Rightarrow n^2⋮2\Rightarrow n⋮2\). Như vậy ta có m, n đều chia hết cho 2, trái với \(\left(m,n\right)=1\), vậy điều giả sử là vô lí. Do đó, \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ.

giả sử \(\sqrt{2}\) là một số hữu tỉ ⇔ \(\sqrt{2}\) = \(\dfrac{m}{n}\)với m,n ϵ N^*

⇔ 2 =  \(\dfrac{m^2}{n^2}\) ⇔ m²=2n² vì m,n ϵ N^* ⇔ m²,n² là các số chính phương 

⇔ 2 là một số chính phương vô lý vì một số chính phương không thể có tận cùng là 2. vậy điều giả sử là sai ⇔ \(\sqrt{2}\) là một số vô tỉ (đpcm)