Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{cases}}\)

Khi đó, \(x,y,z\) dương và ta cần c/m:

\(\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\left(2z+x+y\right)\)

\(\ge8Σ\left(y-z\right)\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\)

Hay \(Σ\left(2x^3+15x^2y-x^2z+\frac{16}{3}xyz\right)\ge0\)

Nó hiển nhiên đúng vì \(x^3+y^3+z^3\ge x^2z+y^2x+z^2y\) theo BĐT Rearrangement

còn 1 cách khác hơi mạnh cần thì nhắn cho mk nhé :)

áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(bđt svacxo) ta có :

VT= \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}\)= \(\frac{64}{a+b+c+d}\)=VP (đpcm)

dấu = xảy ra <=>a=b=1; c=2 ; d=4

Dễ dàng CM BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b},\forall a,b>0\)

Áp dụng liên tục ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge4.\frac{4}{a+b+c}+\frac{16}{d}\ge16.\frac{4}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}\)

dấu = xảy ra <=> a+b=c, a+b+c=d, a=b

ĐPCM

a³/b + ab >= 2a² (AM-GM) 

tương tự VT >= 2(a²+b²+c²)-(ab+bc+ac )

có a²+b²+c² >= ab+bc+ac (AM-GM) 

=>VT >= 2(ab+bc+ac)-(ab+bc+ac) >= ab+bc+ac 

Áp dụng BĐT Chwarz có:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)

Dễ dàng CM được BĐT sau: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Ta có: \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)

=> ĐPCM

Dễ dàng CM BĐT sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b},\forall a,b>0\)

Áp dung: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\\\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}\\\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{2p-c-a}=\frac{4}{b}\end{cases}}\)

Cộng vế theo vế các BĐT trên => ĐPCM

tui chơi. lv 36

tk tui đi.

coi nó là pt ẩn x tham số Y:

Vậy pt <=> \(\left(Y-1\right)x^2+\left(2Y-1\right)x+2Y-1=0\)

xét \(\Delta=\left(2Y-1\right)^2-4\left(Y-1\right)\left(2Y-1\right)=4Y^2-4Y+1-\left(4Y-4\right)\left(2Y-1\right)\)

\(=4Y^2-4Y+1-8Y^2+12Y-4=-4Y^2+8Y-3=\left(-2Y+1\right)\left(2X-3\right)\)

Do pt có nghiệm nên ta có: \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(-2Y+1\right)\left(2Y-3\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le Y\le\frac{3}{2}\)

Vậy Min P=\(\frac{1}{2}\) và Max P=\(\frac{3}{2}\)

\(\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}\)

= \(\frac{x^2+2x+1-x}{x^2+2x+1+1}\)

= ..............

đến đây mk ko biết phân tích nên 

bn làm tiếp nhé

jhjkjjkj