Chào! tk mình đi bạn.Mình bị âm nè.

Khỏi thanks!

\(------------------\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}x+3=2^y\left(1\right)\\3x+1=4^z\left(2\right)\end{cases}}\)

Cộng hai pt  \(\left(1\right);\left(2\right)\)  vế theo vế, ta thu được:

\(4\left(x+1\right)=4^z+2^{y-2}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x+1=4^{z-1}+2^{y-2}\)    

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(x-1\right)+2=4^{z-1}+2^{y-2}\)  \(\left(i\right)\)

Lại có:   do  \(x,y,z\in Z^+\)  nên từ  \(\left(1\right)\) suy ra  \(2^y\ge4\)  hay  \(y\ge2\)

Khi đó, ta phải tìm các các nghiệm  \(x,y,z\)  sao cho  \(x,y,z\in Z^+\)  và  \(y\ge2\)

\(------------------\)

Mặt khác, từ phương trình  \(\left(2\right)\)  với lưu ý rằng  \(z\in Z^+\)  suy ra  \(3x+1⋮4,\) 

hay nói cách khác,  \(\left[4x-\left(x-1\right)\right]⋮4\)  tức là \(x-1⋮4\)  \(\left(3\right)\)

Do đó, từ  \(\left(i\right)\)  với chú ý   \(\left(3\right)\)  đã chứng minh ở trên suy ra  \(VP\left(i\right)\)  và   \(2\)  đồng dư theo mô đun  \(4\)

\(------------------\)

Ta xét các trường hợp sau:

\(\Omega_1:\)    Với  \(z=1\) thì  \(4^{z-1}=1\)  chia cho  \(4\)  dư  \(1\)  nên  \(2^{y-2}\)  chia cho  \(4\)  dư  \(1\)  \(\Rightarrow\)  \(y=2\)

vì nếu  \(y=3\)  thì   \(2^{y-2}=2\)  chia cho  \(4\)  dư  \(2\) và  \(y>3\)  thì    \(2^{y-2}⋮4\) 

Khi đó, từ  \(\left(1\right);\left(2\right)\)  suy ra  \(x=1\)

\(\Omega_1:\)  Với  \(z>1\)  thì  \(4^{z-1}⋮4\)  nên  ta có  \(2^{y-2}\)  chia cho  \(4\) phải dư  \(2\)  suy ra  \(y=3\)

Theo đó, dễ dàng suy ra được  \(x=5\)  dẫn đến  \(z=2\)

\(------------------\)

Vậy,  các bộ nghiệm nguyên dương thỏa mãn là  \(\left(x,y,z\right)\in\left\{\left(1,2,1\right);\left(5,3,2\right)\right\}\)

Từ \(\frac{a^2+b^2}{a-2b}=2\Rightarrow a^2+b^2=2\left(a-2b\right)\)  

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=2a-4b\) 

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+4b=2a\)

\(\Leftrightarrow a.a+b.b+4b=2.a\)

\(\Leftrightarrow a.a+b\left(b+4\right)=2.a\) 

\(\Leftrightarrow2.a-a.a=b\left(b+4\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b+4}{2-a}\)

Mà muốn P lớn nhất thì a,b phải lớn nhất \(\Rightarrow a=b+4;b=2-a\)

\(\Leftrightarrow a+b=2\Leftrightarrow b+4+b=2\Leftrightarrow2b=-2\Rightarrow b=-1;a=3\)

\(\Rightarrow P=8a+4b=24-4=20\)

BĐT cần c/m <=> a⁴+b⁴+c⁴ >/ abc(a+b+c)

Áp dụng bđt am-gm : a²+b² >/ 2ab ; b²+c² >/ 2bc ; c²+a² >/ 2ca 

=> 2(a²+b²+c²) >/ 2(ab+bc+ca) => a²+b²+c² >/ ab+bc+ca 

đẳng thức xảy ra <=> a=b=c 

Áp dụng bđt trên ta có:

a⁴+b⁴+c⁴=(a²)²+(b²)²+(c²)² >/ a²b²+b²c²+c²a² >/ (ab)²+(bc)²+(ca)² >/ abc(a+b+c) (đpcm)

Sử dụng Bdt thức   \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)  với  \(a,b>0\).

Tự chứng minh

\(------------------\)

Áp dụng bđt trên, ta có:

\(A=x^2y=\frac{1}{2}.2x.xy\le\frac{1}{2}\left(\frac{2x+xy}{2}\right)^2=\frac{1}{8}\left(2x+xy\right)^2=\frac{1}{8}.4^2=2\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(\hept{\begin{cases}2x=xy\\2x+xy=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}}\)  

Kết luận: .....

Max \(P=20\)

cách giải sao vậy bn??