Theo BĐT Cauchy ta có

 a+b>=2*sqrt(a*b)

4+ab>=2*sqrt(4*ab)

==>(a+b)(4+ab)>=2sqrt(ab).2sqrt(4ab)>=8ab

Gọi thời gian ô tô con đi từ A tới B là x ( h). (0<x<5)

Ta có thời gian ô tô con đi từ B tới C là ( 5- x ) (h)

Vận tốc ô tô con là: \(\frac{BC}{5-x}\)( km/h)

Ta có vận tốc ô tô tải là: \(\frac{BC}{5}\) ( km/h)

Vì vận tốc của ô tô tải bằng \(\frac{3}{5}\) vận tốc ô tô con, nên ta có phương trình: \(\frac{BC}{5}=\frac{3}{5}\cdot\frac{BC}{5-x}\)

Giải phương trình ta được: x=2

Vậy ô tô con đi từ A tới B mất 2 giờ

Sorry vì hình vẽ ko chính xác.

Đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC tương ứng tại F và E. Gọi K là giao điểm của BI và DE, L là giao điểm của CI và DF.

Giả sử L nằm trong đoạn Df và K nằm trong đoạn DE. Các TH khác chứng minh tương tự.

Dễ thấy ^AIK = ^IAB + ^IBA = (^BAC + ^ABC)/2 = 90^o - (^ACB)/2 = ^CED = 180^o - ^AEK

^AIL = 180^o - ^AFL. Chịu.

Giải tiếp:

Do đó các tứ giác AEKI, AFLI nội tiếp (1)

Vậy ^AKM =^AKI = ^AEI = 90^o = ^AFI = ^ALI = ^ALN

Kết hợp AM vuông góc MN suy ra các tứ giác AKDM và ALDN nội tiếp(2)

Từ (1) và (2) suy ra ^DAM = ^DKM = 180 - ^EKI = ^EAI = ^CAI = ^BAI = ^FAI = 180 - ^FLI = ^DLI = ^DLN = ^DAM.

Từ đó với chúc ý AM \(\perp\) MN suy ra tam giác AMN cân tại A.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)

Ta có: \(\frac{a^2}{b}+3b=\frac{a^2+b^2}{b}+2b\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)(Theo BĐT Cô - si)

Tương tự ta có: \(\frac{b^2}{c}+3c\ge2\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}\);\(\frac{c^2}{a}+3a\ge2\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+3\left(a+b+c\right)\ge\)\(2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+2\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+2\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}\)

Cần chứng minh \(2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+2\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+2\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}\)\(-3\left(a+b+c\right)\)

\(\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)

hay \(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\ge a+b+c\)(*)

Sử dụng BĐT quen thuộc: \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(Đẳng thức xảy ra khi x = y)

Khi đó ta được: \(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{a+b}{2}\);\(\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}\ge\frac{b+c}{2}\);\(\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\ge\frac{c+a}{2}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:

\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\ge a+b+c\)(đúng với (*))

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

a²/b + b²/c + c²/a >= 1/can2 ( can(a²+b²) + ... )

Xét can( (a²+b²)/2 ) = can ( ( (a²/b + b)/2 )nhân(b) ) nhỏ hơn hoặc bằng (a²/b + b)/4 + b/2

Tương tự vậy ta có vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 1/4 VT cộng với 3/4(a+b+c)

Mà VT chứng minh theo BCS lớn hơn hoặc bằng a+b+c 

Suy ra VT lớn hơn hoặc bằng VP

Dấu bằng tự tìm